1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x ，y)在点(x o，y o)处连续； f(x，y)在点(xo，y o)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x o，y o)处可微； f(x，y)在点(xo，y o)处的两个偏导数存在 若用“PQ” 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（A）（B） （C） （D）2 设有三元方程 xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数 z=z(x，y)
2、（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=z(y，z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z=x(y， z)和 y=y(x，z)3 设 f(x，y)与 f(x，y) 均为可微函数，且 (x，y)0已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x
3、0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)04 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1， f“(0)0（D）f(0)0 内任意的光滑有向封闭曲面 S，都有-e2xdxdy=0函数 f(x)在(0，+)内具有连续一阶导数，且 求 f(x)=_10 设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 =_.11 设是锥面 的下侧，则=_.12 计算曲面积分 =_.其中为曲面 z=1-x2-y2/4(0z1)的上侧13 设曲面是 的上侧，则
4、+x2dxdy=_.14 计算曲面积分 =_，其中是曲面2x2+2y2+z2=4 的外侧15 设 ，则 div(gradr)丨 （1，-2,2） =_.16 设(ab).c=2，(a+b)(b+c).(c+a)=_.17 设一平面经过原点及(6，-3，2)，且与平面 4x-y+2z=8 垂直，则此平面方程为_.18 设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数， z=z(x，y)的极值点_和极值_19 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值_ 20 函数 f(x， Y)=xe-(x2+y2)/2 的极值_.三、解答题解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤。21 设=(x，y，z)丨 x+y+z=1，x0，y0，z0 ，求 y2dS.22 计算曲面积分 2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy，其中是曲面 z=1-x2-y2(z0)的上侧22 设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0) 内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c，d)，记23 证明曲线积分 I 与路径无关；24 当 ab=cd 时，求 I 的值25 设在上半平面 D=(x，y)丨 y0内，函数 f(x， y)具有连续偏导数，且对任意的t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(x y)证明：对 D 内的任意
6、分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有26 设 Q(x，y)在*Oy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并且对任意 t 恒有 ，求 Q(x，y) 27 设有一高度为 h(t)(t 为时间) 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)-2(x2+y2)/h(t)(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 09)，问高度为 1 30(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?28 设有一半径为 R 的球体，P 0 是球面一定点，球体上任意一点的密度与该点到 P0的距离平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心的位置29 设 =(x，y,z)丨 x2+y2
7、z1，求 的形心的竖坐标。30 质点 P 沿着以 AB 为直径的半圆周，从点 A(1， 2)运动到点 B(3，4) 的过程中受变力 F 作用（如图）， F 的大小等于点 P 与原点 O 之间的距离，其方向垂直于线段 OP 与 y 轴正向的夹角小于 /2，求变力 F 对质点 P 所作的功30 设函数 f(x)连续且恒大于零，其中 (t)=(x，y,z)丨x2+y2+z2t2，D(t)=(z，y)丨 x2+y2t231 讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性；32 证明当 t0 时，F(t)2/G(t)考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
8、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 A【知识模块】 多元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 -24【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 3/2【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 e x/x(ex-1)【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 R3.【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块
9、】 多元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 4【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 4【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 2/3【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 4.【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 2x+2y-3z=0.【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 （9,3），-3【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 -e -1【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 -e -1/2【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正
10、确答案】 【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的体积为 V(t)，侧面积为 S(t)t 时刻雪堆形状如图730 所示【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 以 P0 为原点， P0 到球心的射线为正 x 轴建立直角坐标系球面方程为 x2+y2+(z-R)2=R2(即 x2+y2+z2=2Rz)，密度 p(x，y，z)=k(x 2+y2+z2)【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 分别作球坐标变换：因此 F(t)在(0，+) 单调增加【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学
