1、考研数学一（向量）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( ) （A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有k11 k22 k ss0，则 1， 2， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11k 22k ss0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关2 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 A0 仅有
2、零解的充分条件是( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关3 设 则三条直线a1b 1yc 10，a 2b 2yc 20，a 3b 3yc 3 0(其中 ai2b i20，i1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C） r(1， 2， 3)=r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关4 设 1， 2， 3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基 1， 到基1 2， 2 3， 3 1 的过渡矩阵为( )（A）（B）（C）（D）5
3、 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 与 2( )（A）线性无关（B）线性相关（C）即线性相关又线性无关（D）不确定6 已知向量组 则向量组1， 2， 3， 4， 5 的一个极大无关组为( )（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 5（D） 1， 3， 57 设 1(1 ， 2，3，1) T， 2(3，4，7，1) T， 3(2，6，a ，6)T， 4(0，1，3，a) T，那么 a8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件8 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不
4、能由向量组()：1， 2， m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， ，则( )（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可以由()线性表示（C） m 可以由() 线性表示，也可以由()线性表示（D） m 可以由 ()线性表示，侣不能由()线性表示9 已知四维向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，且向量1 1 3 4， 2 2 4， 3 3 4， 4 2 3， 52 1 2 3则r(1， 2， 3， 4， 5)( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设 A 是 n 阶方阵，且A0，则 A 中( )（A）必有一列元素全为 0
5、（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合11 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 m X n 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， 3 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关二、填空题12 如果 (1，2，t) T 可以由 1(2，1，1) T， 2(1，2，7)T， 3(1，1，
6、4) T 线性表示，则 t 的值是_13 设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E T 的秩为_14 向量组 1(1 ，0，0)， 2(1，1，0)， 3(5，2，0)的秩是_15 已知 r(1， 2， s)r( 1， 2， s，)r，r( 1， 2， s，)r1 ，则 r(1， 2， s，)_16 设 1(1 ， 2，1) T， 2(2，3，a) T， 3(1 ，a2，2) T，若 1(1，3，4) T可以由 1， 2， 3 线性表示，但是 2(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则 a_ 17 已知 1(1 ，4，2) T， 2(2，7，3) T， 3
7、(0，1，a) T 可以表示任意一个 3 维向量，则 a 的取值是 _18 与 1(1 ， 2，3，1) T， 2(0，1，1，2) T， 3(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是_19 向量 (1，2，4) T 在基 1(1，2，4) T， 2(1，1，1) T， 3(1，3，9) T的坐标是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设向量组 1(1 ，0， 1)T， 2(0，1，1) T， 3 (1，3，5) T 不能由向量组1(1 ，1，1) T， 2(1， 2，3) T， 3(3，4，a) T 线性表示 (1) 求 a 的值； (2)将1， 2， 3 由 1， 2，
8、 3 线性表示21 已知 r(a1，a 2，a 3)2，r(a 2，a 3，a 4)3，证明： (1)a 1 能由 a2，a 3 线性表示； (2)a4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示22 设 a1，a 2 线性无关，a 1b，a 2b 线性相关，求向量 b 用 a1，a 2 线性表示的表达式23 设 b1a 1， b2a 1a 2，b ra 1a 2a r，且向量组 a1，a 2，a r 线性无关，证明：向量组 b1，b 2，b r 线性无关24 *是非齐次线性方程组 Ab 的一个解， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明： (1) *， 1， n-r 线性无关；
9、(2)*， * 1， * n-r线性无关25 设非齐次线性方程组 Ab 的系数矩阵的秩为 r， 1， n-r+1 是它的 nr1个线性无关的解试证它的任一解可表示为 k 11k n-r+1n-r+1 (其中k1k n-r+11)26 由 a1(1，1，0，0) T，a 2(1 ，0，1，1) T 所生成的向量空间记作 L1，由b1(2， 1，3，3) T，b 2(0，1，1，1) T 所生成的向量空间记作 L2，试证L1L 227 已知 R3 的两个基为求由基a1，a 2，a 3 到基 b1，b 2，b 3 的过渡矩阵 P考研数学一（向量）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选
10、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 的条件即齐次线性方程组 11 22 ss0 只有零解，故 1， 2， s 线性无关，选项 A 正确 对于选项 B，由 1， 2， s 线性相关知，齐次线性方程组 11 22 ss0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的 选项 C 是教材中的定理 由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的 综上可知，应选 B【知识模块】 向量2 【正确答案】 A【试题解析】 齐次线性方程组 A0 的向量形式为 11 22 nn0
11、， 其中 1， 2， n 为 A 的 n 个 m 维的列向量 由 A0 只有零解1， 2， n 线性无关可知选项 A 正确 对于选项 C、D ，只要 mn，不管 A 的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故 C、D 均不正确所以应选 A【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或 1y 2 30 (2) 有唯一解由(2)式可得3 1y 2 而方程组(2)( 或(1)有唯一解 3 可由 1， 2 线性表示，且表示式唯一 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关 所以应选 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析
12、】 因为( 1， 2， n)( 1， 2， n)A，则 A 称为基1， 2， n 到 1， 2， n 的过渡矩阵 则由基 1， 到1 2， 2 3， 3 1 的过渡矩阵 M 满足所以此题选 A【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 例如，令 1(1，1)， 2(0，2)， (1，1) ，则 1， 2 线性无关，而 1(0，0)与 2( 1，1)线性相关如果设 (0，0)，那么 1与 2 却是线性无关的故选 D【知识模块】 向量6 【正确答案】 D【试题解析】 对以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量的矩阵作初等行变换，有所以 1， 3， 5 是一个极大无关组，且 2 13 5，
13、4 1 3 5【知识模块】 向量7 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1， 1， n是否为零去判断 因为 1， 1， 4因此，当 a8 时，行列式 1， 2， 40，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，但 a2 时仍有行列 式 1， 2， 4，所以 a8 是向量组口 1， 2， 3， 4 线性相关的充分而非必要条件【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 按题意，存在组实数 k1，k 2，k m 使得 k11 k22 k mm ， (*) 且必有 km0否则与 不能由 1， 2， m-1线性表示相矛盾，从而 即 m 可由向量组()线性表示，排
14、除选项 A，D 若 m 可以由()线性表示，即存在实数l1，l 2，l m-1，使得 ml 11l 22l m-1m-1， 将其代入(*)中，整理得 (k 1k ml1)1(k 2k ml2)2(k m-1k mlm-1)m-1 这与题设条件矛盾因而口。不能由向量组(I)线性表示，排除选项 C。【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有 ( 1， 2， 3， 4， 5)( 1， 2， 3， 4) (1， 2， 3， 4)C 因 4 个四维向量1， 2， 3， 4 线性无关，故 1， 2， 3， 40 A( 1， 2， 3， 4)是可逆矩阵，A 左乘 C，即对
15、 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)r(AC)r(AC)r( 1， 2， 3， 4， 5) 故知r(1， 2， 3， 4， 5)r(C)3，因此应选 C【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 对于方阵 A，因为A0 r(A)nc A 的行(列)向量组的秩小于 n，所以 A 的列向量组必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C 选项 A、B 仅是A0 的充分条件，故均不正确由向量组线性相关的充分必要条件之 “至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D 也不正确【知识模块】 向量11 【正确答案】 A【试题解析】 记
16、B( 1， 2， s)，则(A 1， A2，A s)AB 若向量组1， 2， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选 A【知识模块】 向量二、填空题12 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 11 22 33 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t50，即 t5 【知识模块】 向量13 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 T 的特征值为 0，0，1，故 E T 的特征值为1，1，0又由于
17、实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E T)2【知识模块】 向量14 【正确答案】 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为 0的行向量的个数就是向量组的秩，即 ，因此秩是 2【知识模块】 向量15 【正确答案】 r1【试题解析】 已知 r(1， 2， s)r( 1， 2， s，) r，表明向量 可以由向量组 1， 2， s 线性表示，但是 r(1， 2， s，)r1，则表明向量 y 不能由向量组 1， 2， s 线性表示，因此通过对向量组1， 2， s， 作初等列变换，可得 ( 1， 2， s， ，)( 1， 2， s，0，)
18、， 因此可得 r(1， 2， s，)r1【知识模块】 向量16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意， 1(1 ，3，4) T 可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组11 22 33 1 有解， 2T(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组 11 22 33 2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当 a1 时，满足方程组 11 22 33 有解，方程组11 22 33 2 无解的条件，故 a1【知识模块】 向量17 【正确答案】 a1【试题解析】 1， 2， 3，可以表示任一个 3 维向量，因此向量 1， 2， 3
19、与1 (1，0，0) T， 2(0，1，0) T， 3(0，0，1) T 是等价向量，因此 1， 2， 3 的秩为 3，即 1， 2， 30，于是 因此a1【知识模块】 向量18 【正确答案】 (1，1，1，0) T【试题解析】 已知，若向量 ， 正交，则内积 T0，设 ( 1， 2， 3， 4)T与 1， 2， 3 均正交，那么 对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(1， 1，1，0) T，将这个向量单位化得 (1，1，1，0) T，即为所求向量【知识模块】 向量19 【正确答案】 【试题解析】 如果 1， 2， 3 是空间的基，而 12 22 33，则称向量 在基 1，
20、 2， 3 下的坐标是( 1， 2， 3)T，对于方程组 可解出 1 ， 2 ， 31，因此 在基 1， 2， 3 的坐标是【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 (1)由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 表示，则由 1， 2， 310，知 1， 2， 3 线性无关， 因此， 1， 2， 3 线性相关，即 1， 2， 3 a50，解得 a5 (2)本题等价于求三阶矩阵C，使得 (1， 2， 3)( 1， 2， 3)C 可知 C( 1， 2， 3)-1(1， 2， 3)计算可得 C 因此( 1， 2， 3)( 1， 2， 3)【知识模块】
21、 向量21 【正确答案】 (1)r(a 1，a 2，a 3)23 a1，a 2，a 3 线性相关； 假设 a1 不能由a2，a 3 线性表示，则 a1 与 a2，a 3 线性无关 a2，a 3 线性相关 而由 r(a2，a 3，a 4)3a2，a 3，a 4 线性无关 a2，a 3 线性无关，与假设矛盾 综上所述，a 1 必能由a2，a 3 线性表示 (2)由(1)的结论，a 1 可由 a2，a 3 线性表示，则 若 a4 能由a1，a 2，a 3 线性表示 a4 能由 a2，a 3 线性表示，即 r(a2，a 3，a 4)3 与 r(a2，a 3，a 4)3 矛盾，故 a4 不能由 a1，a
22、 2，a 3 线性表示【知识模块】 向量22 【正确答案】 因为 a1 b，a 2b 线性相关，故存在不全为零的常数 k1，k 2 使 k1(a1b)k 2(a2b)0，则有(k 1k 2)bk 1a1 k2a2 又因为 a1，a 2 线性无关，若 k 1a1k 2a20，则 k1 k20 这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有 k1a1k 2a20，(k 1k 2)b0 由 a1，a 2 线性无关， a1b，a 2b 线性相关，因此b0 综上 k1k 20，因此由(k 1k 2)bka 1k 2a2 b ，k 1，k 2R，k 1k 20【知识模块】 向量23 【正确答案】 根据已知，可得
23、 (b 1，b 2，b r)(a 1，a 2，a r)K， 其中向量组 a1，a 2，a r 线性无关，则 r(a1，a 2，a r)r， 又因为 故 K 可逆，由矩阵的性质，得r(b1，b 2， br)r(a 1，a 2，a r)r 所以 b1，b 2，b r 线性无关【知识模块】 向量24 【正确答案】 (1)假设 *， 1， n-r 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c n-r 使得下式成立 c 0*c 11c n-rn-r0， (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0A(c 0*c 11c n-rn-r)c 0A*c 1A1c n-rAn-rc 0b， 其中b0，则由上式 c0
24、0，于是(1)式变为 c 11c n-rn-r0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1c 2c n-r0，与线性相关矛盾 因此由定义知， *， 1， n-r 线性无关 (2)假设*， * 1， * n-r 线性相关，则存在不全为零的数 c0，c 1，c n-r 使得下式成立 c0*c 1(* 1)c n-r(* n-r)0， 即(c 0c 1 c n-r)*c 11c n-rn-r0 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0A(c 0c 1c n-r)*c 11c n-rn-r (c 0c 1c n-r)A*c 1A1c n-rAn-r
25、(c 0c 1c n-r)b， 因为 b0，故c0c 1c n-r0，代入(2)式，有 c 11c n-rn-r0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1c 2 c n-r0，即得c00与假设矛盾 综上，所给向量组 *， * 1， * n-r 线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案】 设 为 Ab 的任一解，由题设知 1， 2， n-r+1 线性无关且均为 Ab 的解 取 1 2 1， 2 3 1， n-r n-r+1 1，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次方程 A0 的解 下面用反证法证： 设1， 2， n-r 线性相关，则存在
26、不全为零的数 l1，l 2，l n-r 使得 l11l 22l n-rn-r0， 即 l1(2 1)l 2(3 1)l n-r(n-r+1 1)0， 亦即(l 1l 2l n-r)1l 12l 23l n-rn-r+10 由 1， 2， n-r+1 线性无关知 (l 1l 2l n-r)l 1l 2l n-r0，与 与 l1，l 2，l n-r 不全为零矛盾，故假设不成立因此 1， 2， n-r 线性无关，是 A0 的一组基 由于 ， 1 均为 Ab 的解，所以 1，为 A0 的解，因此 1，可由 1， 2， n-r，一线性表示，设 1k 21k 32k n-r+1n-r k 2(2 1)k
27、3(3 1)k n-r+1(n-r+1 1)， 则 1(1k 2k 3k n-r+1)k 22k 33k n-r+1n-r+10， 令 k11k 2k 3k n-r+1，则 k1k 2k 3k n-r+11，从而 k 11k 22k n-r+1n-r+1 恒成立【知识模块】 向量26 【正确答案】 因为 a1 (1，1，0，0) T，a 2(1 ， 0，1，1) T，二者不成比例，因此 r(a1，a 2)2 同理 r(b1，b 2)2，又于是 r(a 1，a 2)r(b 1，b 2) r(a1，a 2，b 1，b 2)2 由向量组等价的充要条件知向量组 a1，a 2 与 b1，b 2 等价，从而 L1L 2【知识模块】 向量27 【正确答案】 记矩阵 A(a 1，a 2，a 3)，B(b 1，b 2，b 3)因 a1，a 2，a 3 与b1，b 2，b 3 均为 R3 中的基，故 A 与 B 均为 3 阶可逆矩阵由过渡矩阵定义 (b1，b 2，b 3) (a1，a 2，a 3)P 或 BAP，因此 PA -1B【知识模块】 向量
