1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 f(x)在 x=0 处可导， f(0)0，f(0)=0，则 x=0 是 f(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定2 设函数 在 x=0 处 f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续3 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）
2、f(0)一 f(0)=04 设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有f(x)x 2，则x=0 必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)05 设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+) 内二阶可导，又 f(x)0，f(x) 0，则 f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增，凸（B）单调减，凸（C）单调增，凹（D）单调减，凹6 设 f(x)有连续的导数， 且当 x0时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 g
3、(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 则 f(x)在x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导，导函数连续8 当 x0 时，曲线 ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线9 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条10 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(一 1)n-1(n 一 1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（
4、C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!11 设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+) 内二阶可导，又 f(x)0，f(x) 0，则 f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增，凸（B）单调减，凸（C）单调增，凹（D）单调减，凹二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 已知 y=x2sin 2x，求 y(50)13 计算14 已知 ，求 f(1)15 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式： f(1+sinx)一 3f(1 一 sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f
5、(x)在 x=1处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程16 设 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=-1，求 f(x)，并讨论 f(x)在( 一 ，+)内的连续性17 求下列函数的导数：(1) (a0)；(2)y=e f(x).f(ex)；(3)(4)设 f(t)具有二阶导数，求 f(f，(x)，f(f(x)18 设 ，求 y19 设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 ，证明：函数 (t)满足方程20 设 试问当 a 取何值时，f(x)在点 x=0 处，连续，可导，一阶导数连续， 二阶导数存在21 设 ，求 y(n)(n
6、1)22 设 ,求 y(n)(0)23 设 f(x)满足 ，求 f(x)24 设 试确定常数 a，b，c ，使 f(x)在 x=0 点处连续且可导25 顶角为 60，底圆半径为口的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?26 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的材料最省?27 试证明：曲线 恰有三个拐点，且位于同一条直线上28 作函数的图形29 30 设 f(x)连续，且 f(
7、x) ，求 f(x)31 32 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明：33 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：34 设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x1 所围成的图形面积为 S2，且 a1 (1)确定 a，使 S1S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积35 求曲线 y3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的体积36 求椭圆 与椭圆 所围成的公共部分的面积36 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 x
8、轴一周所得旋转曲面为 S37 证明：当 时，不等式 成立考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0f(x) 在(0，+)内单调增；f(x)0f(x)在(0，+) 内为凸曲线由 f(x)=f(一 x)f(x) 关于 y
9、轴对称f(x) 在(一 ，0) 内单调减，为凸曲线，选 B【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则， 所以 k=3，选 C其中 (2)洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为 存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 所以 f(x)在x=0 处连续所以导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由渐近线的求法可知正确选项为 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答
10、案】 B【试题解析】 曲线 y=f(x)有水平渐近线曲线y=f(x)有铅直渐近线 x=0 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 用导数定义【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0f(x) 在(0，+)内单调增；f(x)0f(x)在(0，+) 内为凸曲线由 f(x)=f(一 x)f(x) 关于 y 轴对称f(x) 在(一 ，0) 内单调减，为凸曲线，选 B【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案
11、】 用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6) 处和点(1 ，f(1) 处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 当 x0 时，f(x)可导，且【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 两边取对数【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 因当 a0
12、时，极限 不存在而当 a0 时，故 a0 时， f(x)在 x=0 处连续当 a 一 10 时，即 a1时，f(0)=0，f(x)在 x=0 处可导当 a3 时，f(0)不存在；当 a3 时， f(0)=0，即 f(x)在点 x=0 处二阶可导【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 当 x0 时,【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得原等式中 x 换成 ，得式两边同时对 x 求导得2 一 得，【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 又 f(0)=1，所以及 c 为任意值时，f(x) 在 x
13、=0 处连续又因为【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为 H，水量为 q(如图 122)，则 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以两边对 t 求导得因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 得 h2=3b2，故 时，漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设截面周长为 S，矩形高为 y，则由解出 代入得 故唯一极值可疑点为 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 截面的周长最小，因而所用材料最省【知识模块】 一
14、元函数微分学27 【正确答案】 列表所以 均为此曲线的拐点，因所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 定义域 (一 ，0)U(0，+)，无周期性无奇偶性由表可知函数的极小值点为 ，拐点为(一 1，0)铅直渐近线：无斜渐近线作图 (如图 123)【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 (1)直线 yax 与抛物线 yx 2 的交点为(0，0)，(a，a 2)【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y3 旋转所成的体积【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积.【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 当 而 cosx0，所以不等式成立【知识模块】 一元函数微分学
