1、一元函数微分学模拟试卷 3 及答案与解析一、数学部分单项选择题1 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -12 “对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n-a2”是数列xn收敛于 a 的（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件3 设函数 f(x)在(-，+) 内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛
2、（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛4 函数 f(x)=丨 x 丨 sin(x-2)/x(x-1)(x-2)2存下列哪个区间内有界（A）(-1，0)（B） (1，0)（C） (1，2)（D）（2,3）5 设 f(x)=ln10x，g(x)=x ，h(x)=e x/10，则当 x 充分大时有（A）g(x)0 且 f(a)0（D）f(a)0，f(b)f(a)（B）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)f(b)（C）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)=0（D）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)=012 设函数 f(x)在区间(-
3、，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有丨 f(x)丨x 2，则x=0 必是 f(x)的（A）间断点（B）连续而小可导的点（C）可导的点，f(0)=0（D）町导的点，f(0)013 设函数 f(x)连续，f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)存(-，0) 内单凋减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)14 设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1
4、) nn!二、填空题15 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_.16 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2， 则A 的非零特征值为_.17 设向量 =(1， 2， n)T ，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T =0，记 n 阶矩阵 A=T 求：A 2 18 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.19 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a T B=E+1/aaaT . 其中 A 的逆矩阵为 B，则a=_20 当 x0 时，f(x)=
5、x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=_,b=_.21 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则k=_,c=_.22 设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于23 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)：1，则 f“(2)=_.24 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01 ，则 f(1)
6、=_.三、解答题25 已知向量组(I)： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；( )：1， 2， 3， 4， 5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r(II)=3，r()=4证明向量组1， 2， 3， 5-4 的秩为 425 设 A=E-T，其中层为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置26 A2=A 的充要条件是 T=1；27 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵28 试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)， 其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小28 设函数 y=y(x)往(- ，+)内具有二阶导数，且 y
7、0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数29 试将 x=x(y)所满足的微分方程 d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；30 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3/2 的解一元函数微分学模拟试卷 3 答案与解析一、数学部分单项选择题1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学7 【
8、正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题15 【正确答案】 n-n-1【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 1【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A2=(T)(T)=a(T)T=OT=0【知识
9、模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 -1【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 1,-1/6【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 3,4【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 2e 3【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 1/2【知识模块】 一元函数微分学三、解答题25 【正确答案】 因为 r(I)=r(II)=3，所以 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l1+
10、l2+l3 若 k【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT =E-T+(T)T-T=A+(T)T-T， 那么 A2=A(T-1)T【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 反证法当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A -1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 把 ex 的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 e x=1+x+1/2x2+1/6x3+ox3， 代入经整理可得 e x(1+Bx+Cx2)-(1+Ax)=(1-A+B)x+(1/
11、2+B+C)x2+(1/6+B/2+C)x3+o(x3) 从而使得 ex(1+Bx+Cx2【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 dx/dy=1/y,d 2x/dy2=(dx/dy)y=(1/y)y=(1/y)x.(dx/dy)=-y“/y3=-y“(dx/dy)3 代人原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1；由于 A=ir1.2，则设(*)的特解为 y=acosx+bsinx 代入 (*)求得 a=0，b=-1/2，故 y*=-1/2sinx于是(*)的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2sinx 又由原始条件得 C1=1，C 2=-【知识模块】 一元函数微分学
