1、考研数学（数学二）模拟试卷 449 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x，y)在点 O(0，0)处 ( )（A）两个偏导数存在，函数不连续（B）两个偏导数不存在，函数连续（C）两个偏导数存在，函数也连续，但函数不可微（D）可微2 设 f(x)在 x=0 处存在四阶导数，又设 则必有 ( )（A）f(0)=1（B） f(0)=2（C） f (0)=3（D）f (4)(0)=43 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 ，又设 f(x)在该邻域内存在二阶导数，且满足 x2f(x)f(x) 2=xg(x)，则 ( )（A）f(0)是 f(x
2、)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值（D）f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定4 设 ，则下列关于 f(x)的单调性的结论正确的是 ( )（A）在区间(，0) 内是严格单调增，在(0，+)内是严格单调减（B）在区间(，0)内是严格单调减，在(0，+)内是严格单调增（C）在区间(，0)与(0，+) 内都是严格单调增（D）在区间(，0) 与(0，+) 内都是严格单调减5 设 g(x)在(，+)内存在二阶导数，且 g(x)0（B） f(x)2 时， 22 设积分区域 D=(x，y)| 0xy2)，计算二重积分 I= |sin(yx)|d
3、23 已知摆线的参数方程为 其中 0t2，常数 a0设该摆线一拱的弧长的数值等于该弧段绕 x 轴所围成的旋转曲面面积的数值求 a 的值23 设 0=(1，1，1，1) T 是线性方程组的一个解向量，试求：24 方程组（*）的全部解；25 方程组（*）的解中满足 x2=x3 的全部解25 设 (1，2 ，3，4) T，(3，2，1，1) T，A= T26 求 A 的特征值，特征向量；27 问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 449 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 所以函数在点(0 ，0) 处连续
4、，且 fx(0，0)与 fy(0，0)均存在再看可微性，若 f(x，y)在点(0， 0)处可微，则 f(x，y)f(0 ，0)= f x(0，0) x+ fy(0，0)y+成立上面已有 fx(0，0)= 0，f y(0，0)=0 ，于是应有 f(x，y) 而当(x， y)(0，0)时不妨设y=kx0，则 并不趋于 0 所以当(x， y)(0，0)时，f( x，y)不是 的高阶无穷小故 f(x，y)在点 O(0，0)处不可微选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 用佩亚诺泰勒公式先考虑分母,将分子 f(x)在 x=0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至 n=3，得代入原式，得所以 f(0)=0， f(
5、0)=0，f(0)=0，f “ (0)=3故应选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， 由于 g(x)在 x=0 处连续，则由题设，易得f(0)2=02f(0)0g(0)=0，即 f(0)=0所以 f(0)为 f(x)的一个极小值4 【正确答案】 C【试题解析】 取其分子，令 (x)=xexe x+2有 (0)=10，(x)=xe x，当 x0 时，(x)0所以当 x0；当 x0 时，也有 (x)0故知在区间( ，0)与(0 ，+)内均有 f(x)0从而知 f(x)在区间(， 0)与(0，+)内均为严格单调增5 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)=g(x)+g(x)，有
6、f(x)=g(x)g( x)，f(0)=0 ，f(0)=g(x)+ g(x)Bx0=0 故 r(A)=s=Bx=0 和 ABx=0 是同解方程组故应选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 作积分变量代换，令 ，从而上述极限存在且不为零的充要条件是 此时，该极限值等于11 【正确答案】 e 2【试题解析】 因为所以原式=e 2 12 【正确答案】 2xtan(x2)【试题解析】 由 y=u(x)，有 ，于是原方程化为由于初值为 x=2，所以在 x=2 的不包含 x=O 在内的邻域上，上述方程可改写成 分离变量 两边积分以 x=2y=O 代入，得 u=O，
7、 C=2从而得特解 y=u(x)x=2xtan(x2)13 【正确答案】 【试题解析】 原点到直线 L： 的距离 所以直线 y=2与圆周 x2+y2=16 围成的小的那块弓形状的图形绕直线 y=2 旋转一周生成的旋转体体积与题中要求的旋转体体积相同由此有14 【正确答案】 4【试题解析】 因 =0 是特征方程|EA|的单根，所以对应的线性无关特征向量有且只有一个，即 Ax=0 的基础解系只有一个非零解故 r(A)=2因 =1 是二重特征根，又 A 不相似于对角矩阵，故对应的线性无关特征向量也只有一个，即1=3r(EA) ，即 r(EA)=3 1=2 因此 r(A)+r(E A)=4三、解答题解
8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由隐函数微分法知，过椭圆上点(，)处的切线斜率为切线方程为 两坐标轴上的截距分别为三角形面积为求 A 的最小值，等价于求 在条件 下的最大值由拉格朗日乘数法，作此三角形面积最小，最小值 A=ab16 【正确答案】 将 f(x)在 x=0 处按带有拉格朗日余项的泰勒公式展开至 n=1，有又由于 f(x)在1，1 上连续，故存在 M0，对一切 x1，1，有|f(x)|M于是17 【正确答案】 所以对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零点，记为 an 并且18 【正确答案】 由 所以a n严格单调减少且 证毕19 【正确答案】 由 t=lnx
9、，有代入原微分方程得 再由 得 z 关于 t 的微分方程为20 【正确答案】 由上述方程 解得其中 C3，C 4 为任意常数21 【正确答案】 令 ，有 (2)=0 且令 f(u)=eu+ueu，从而，f(u)=(u+2)e u，并且 由条件x2，所以 由于 f()=(2+)e，所以 f()0，从而知 (x)2 时，(x)22 【正确答案】 由于被积函数为|sin(y x)| ，因此要分 D 为 D1D1，如图所示其中 D1=(x，y)|yx2 ，(x ，y) D，D 2=(x，y)|0yx，(x，y)D，仅当 yx=(x ，y)D)时 D1 与 D2 有公共边，不影响积分的值 =02dxx2
10、sin(yx)dy 20dxx+2sin(yx)dy= 02cos(yx)| x2dx+20cos(yx)|x+2dx= 02(cosx1)dx+2 0(cosx+1)dx=423 【正确答案】 摆线一拱弧长摆线一拱绕 x轴旋转一周所成的旋转曲面的面积为由题意得，24 【正确答案】 将 0 代入方程组，得+=0 ，即 =，代入增广矩阵，并作初等行变换， 当2 时，r(A)=r(Ab)=3 Ax=0 有基础解系 =(2，1，1，2) T，Ax=b 有特解=(1，0，0，1) T，Ax=b 的通解为 k+=k(2，1，1，2) T+(1，0，0，1)T=( 2k1，k，2k+1) T 其中 k 是
11、任意常数当 =2 时，r(A)=r(A b)=2Ax=0有基础解系 1=(4，1，0，2) T， 2=(2，0，1，0) TAx=b 有特解0(1，0，0 ，1) TAx=b 的通解为 k11+ k22+0=k1(4，1，0，2) T+ k2(2， 0，1，0) T+(1，0，0，1) T=(4k 12k 2 1，k 1，k 2，2k 1+1)T其中k1，k 2 是任意常数25 【正确答案】 当 2 时，由 x2=x3，有 k=k，得 k=0故满足 x2=x3 的全部解为(1 ，0，0，1) 当 =2 时，由 x2=x3，有 k1=k2 故满足 x2=x3 的全部解为(6k 1 1，k 1，k 2，2k 1+1)T其中 k1 是任意常数26 【正确答案】 r(A)=r( T)r()=1又 AO，故 r(A)=1，|A|=0故 A 有特征值=0对应的特征向量满足(0EA)x=0 ，即 Ax=Tx=0其同解方程为3x12x 2x 3+x4=0 故知 =0 至少是 A 的三重特征值，设第 4 个特征值为 1由=343+4=0 得 1=0，故 =0 是四重特征值对应特征向量为k11+ k22+ k33，其中 k1，k 2，k 3 为不全为零的任意常数27 【正确答案】 由 =0 是四重特征值但对应的线性无关特征向量只有三个故A 不能相似于对角阵
