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    [考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷435及答案与解析.doc

    • 资源ID:844418       资源大小:423.50KB        全文页数:13页
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    [考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷435及答案与解析.doc

    1、考研数学(数学二)模拟试卷 435 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f“(x)在 x=0 处连续,且 =1,则( )(A)f(0)是 f(x)的极大值(B) f(0)是 f(x)的极小值(C) (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)f(0)非 f(x)的极值,(0,f(0)也非 y=f(x)的拐点2 设 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=1 处取最大值,又(0,3)为曲线的拐点,则( )(A)a=1 ,b=1,c=3(B) a=0,b=1,c=3(C) a=1,b=1,c=3(D)a=1 ,b=1,c=33 设 z=xy+ ,其中

    2、 F 为可微函数,则 为( )(A)zxy(B) z+xy(C) z2xy(D)z+2xy4 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域,z=f(x,y)在 D 上连续,在 D 内可偏导且满足=z,若 f(x,y)在 D 内没有零点,则 f(x,y)在 D 上( )(A)最大值和最小值只能在边界上取到(B)最大值和最小值只能在区域内部取到(C)有最小值无最大值(D)有最大值无最小值5 曲线 y=x2 与 y= 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( )6 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex,y 2=2xex,y 3=3ex ,则该微分方程为( )(A)yy“y+y=0(B)

    3、y+y“yy=0(C) y+2y“y2y=0(D)y2y“y+2y=07 设四阶矩阵 A=(1, 2, 3, 4),其中 1, 2, 3 线性无关,而 4=21 2+3,则 r(A*)为( )(A)0(B) 1(C) 2(D)38 设三阶矩阵 A 的特征值为1,1,3,其对应的线性无关的特征向量为1, 2, 3,令 P=(21+2, 1 2,2 3),则 P1 A*P=( ) 二、填空题9 过曲线 y= (x0)上的一点 A 作切线,使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 ,所围区域绕 x 轴旋转一周而成的体积为_10 f(x)=x4ln(1x),当 n4 时,f (n)(0)=_1

    4、1 已知函数 z=u(x,y)e ax+by,且 =0,若 z=z(x,y)满足方程+z=0,则 a=_,b=_12 =_13 =_14 设 则B*A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算极限16 设 u=f(x+y,xy,z)由 z=x+zy+zp(t)dt 确定 z 为 x,y 的函数,又 f 连续可偏导,p 可导,且 p(y+z)p(x+z)10,求17 设 f(x)在0,2上二阶可导,且 f“(x)0,f(0)=1,f(2)=1,f(0)=f(2)=1证明:202f(x)dx318 设抛物线 y=x2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S,其中

    5、一条切线与抛物线相切于点 A(a,a 2)(a0) ( )求 S=S(a)的表达式; ()当 a 取何值时,面积 S(a)最小?19 计算 ,其中 D=(x,y) x 2+y21,x0,y020 设曲线 y=y(x)位于第一象限且在原点处与 x 轴相切,P(x ,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为 l1,点 P 处的切线与 y 轴交于点 A,点 A,P 之间的距离为 l2,又满足 x(3l1+2)=2(x+1)l2,求曲线 y=y(x)21 设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+yy=(46x)e x 的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴 ()求曲线 y=

    6、y(x)的表达式; ( )求曲线y=y(x)到 x 轴的最大距离; ()计算积分 0+y(x)dx22 设非齐次线性方程组 有三个线性无关解1, 2, 3() 证明系数矩阵的秩 r(A)=2;()求常数 a,b 的值及通解23 ()设 A, B 为 n 阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵 A,B 相似( )设 ,求可逆矩阵 P,使得 P1 AP=B考研数学(数学二)模拟试卷 435 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 =1 得 f“(0)=0,由极限保号性可知,存在 10,当x 时, 0当 x(,0)时,因为

    7、 ln(1+x)0,所以 f“(x)0;当 x(0,)时,因为 ln(1+x)0,所以 f“(x)0,于是(0,f(0) 为 y=f(x)的拐点,选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 y=3x 2+6ax+3b,y“=6x+6a,则有 解得a=0,b=1,c=3,选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 由 得=xy+xFyF+xy+yF=2xy+xF=2xy+zxy=z+xy ,选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x,y) 在 D 上连续,所以 f(x,y)在 D 上一定取到最大值与最小值,不妨设 f(x,y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0,y 0)处取到

    8、,即 f(x0,y 0)=M0,此时 ,这与 =z0 矛盾,即 f(x,y)在D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到,同理 f(x,y)在 D 上的最小值优不可能在 D内取到,选(A) 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y1=ex,y 2=2xex,y 3=3ex 为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解,所以其对应的特征方程的特征值为 1=2=1, 3=1,其对应的特征方程为 ( 1) 2(+1)=0,即 3 2+1=0 , 则微分方程为 yy“y+y=0,选(A)7 【正确答案】 B【试题解析】 由 1, 2, 3 线性无关, 4=21 2+3 得向

    9、量组的秩为 3,于是r(A)=3,故 r(A*)=1,选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 A=3,A *的特征值为3,3, 1,显然 1, 2, 3 也为 A*的线性无关的特征向量,且 21+2, 1 2,2 3 为 A*的线性无关的特征向量,故应选(C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设切点为 A(a, ),切线方程为切线与 x 轴的交点为(2a, 0),所求的面积为所求体积为10 【正确答案】 【试题解析】 设 f(x)=f(0)+f(0)x+ +,再由麦克劳林公式的唯一性得11 【正确答案】 a=1,b=1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】

    10、 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(2)E13,所以B= A. E 12(2).E 13=3,又因为 B*=B B 1 ,所以 B*=3E 131 E121 (2)A1 =3E 13E12(2)A 1 ,三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0 时, ,则 16 【正确答案】 将 u=f(x+y,xy,z)及 z=x+zy+zp(t)dt 两边对 x 求偏导得17 【正确答案】 首先 f“(x)0,所以 f(x)在(0,2)内不可能取到最小值,从而 f(0)=f(2)=1 为最小值,故 f(x)1(x0,2),从而 02f

    11、(x)dx2因为 f“(x)0,所以有 所以 02f(x)dx=01f(x)dx+12f(x)dx01(1+x)dx+12(3x)dx=3 18 【正确答案】 () 设另一个切点为(x 0,x 02),则抛物线 y=x2 的两条切线分别为L1:y=2ax a2,L 2:y=2x 0xx 02因为 L1L2,所以 x0= ,两条切线 L1,L 2 的交点为 x1= ,y 1=ax0,L 1,L 2 及抛物线 y=x2 所围成的面积为19 【正确答案】 20 【正确答案】 由已知条件得 y(0)=0,y(0)=0 , P(x,y)处的切线为 Yy=y(X x) ,令 X=0,则 Y=yxy,A 的

    12、坐标为(0,yxy),两边对 x求导整理得 1+y2=2(x+1)yy“ 积分得 ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1,即 1+p2=C1(x+1),再由 y(0)=0 得 C2=0,故所求的曲线为21 【正确答案】 () 微分方程的特征方程为 2 2+1=0,特征值为1=1, 2= ,则微分方程 2y“+yy=0 的通解为 令非齐次线性微分方程 2y“+yy=(4 6x)e x 的特解为 y0(x)=x(ax+b)ex ,代入原方程得a=1,b=0,故原方程的特解为 y0(x)=x2ex ,原方程的通解为由初始条件 y(0)=y(0)=0 得 C1=C2=0,故 y=x2ex ()曲线

    13、 y=x2ex 到 x 轴的距离为 d=x2ex ,令 d=2xex x 2ex =x(2x)e x =0,得x=2当 x(0,2)时,d0;当 x2 时,d0,则 x=2 为 d=x2ex 的最大值点,最大距离为 d(2)= () 0+y(x)dx=0+x2ex dx=222 【正确答案】 () 令 r(A)=r,因为系数矩阵至少有两行不成比例,所以 r(A)2 1 2, 1 3 为对应的齐次线性方程组的两个解 令 k1(1 2)+k2(1 3)=0,即 (k1+k2)1k 12k 23=0 因为 1, 2, 3 线性无关,所以 k1=k2=0,即1 2, 1 3 线性无关,于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量,即 4r2 或 r2,故 r(A)=223 【正确答案】 () 设 A,B 的特征值为 1, 2, n,因为 A,B 可相似对角化,所以存在可逆矩阵 P1,P 2,使得于是P11 AP1=P21 BP2,或(P 1P21 )1 A(P1P21 )=B,令 P=P1P21 ,则 P1 AP=B,即矩阵A,B 相似A 的属于 1=1 的线性无关特征向量为A 的属于特征值 2=3=1 的线性无关的特征向量为


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