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    [考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷402及答案与解析.doc

    • 资源ID:844385       资源大小:357KB        全文页数:14页
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    [考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷402及答案与解析.doc

    1、考研数学(数学二)模拟试卷 402 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 当 x时, 的( )(A)等价无穷小(B)较低阶无穷小(C)较高阶无穷小(D)同阶但不等价的无穷小2 若函数 f(x)的导函数是 lnx,则f(x)dx 等于( )(A)(B)(C) xlnxlnx+c(D)xlnxlnx+cx3 下列反常积分发散的是( )(A)(B)(C)(D)4 设 f(x,y)为区域 D 内的函数,则下列命题中不正确的是( )(A)若在 D 内,有 ,则 f(x,y) 常数(B)若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为 0,则 f(x,y)常数

    2、(C)若在 D 内有 df(x,y)0,则 f(x,y)常数(D)若在 D 内有 则 f(x,y) 常数5 在极坐标系内将 75 的积分次序交换正确的是( )(A)(B)(C)(D)6 设 y=f(x)二阶可导,且 f(x)0,f(x)0,令y=f(x+x)f(x),当x0 时,有( )(A)ydy0(B) ydy0(C) dyy0(D)dyy07 设 A 为 n 阶矩阵,满足 AAT=E(E 为 n 阶单位矩阵, AT 为 A 的转置) ,A0,则A+E=( )(A)1(B)一 1(C) 2(D)08 下列叙述正确的是( ) (A)若两个向量组的秩相等,则此两个向量组等价(B)若向量组 1,

    3、2 s 可由向量组 12 t 线性表示,则必有 st(C)若齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解,则矩阵 A 与 B 的行向量组等价(D)若向量组 1,2 s 与 2, s 均线性相关,则 1 必不可由 2,3 s线性表示二、填空题9 (arcosx)2dx=_10 设 则 f(x)=_11 设 f(x)为可导的以 4 为周期的周期函数,且 则曲线 y=f(x)在点(-4,0)处的法线方程为_12 已知 =_.13 已知 的值等于_14 设 ,B 为三阶非零矩阵,且满足,BA=0,则当 满足_时,B 的秩恰为 1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设 可导,试

    4、求 a,b17 证明:当 x0时, 其中 n 为自然数18 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r(),M(r,) 为 L 上任一点,M 0(2,0)为 L 上一定点若极径 OM0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0、M 两点间弧长值的一半,求曲线 L 的方程19 设函数 f(x)在0,1上连续且非负,证明:在 (0,1) 内存在一点 ,使 f()=1f(x)dx20 证明:方程 3ax2+2bx 一(a+b)=0 在区间(0,1)内至少有一个根21 设 f(x)在a,b上有二阶导数,又 f(A)=f(B)=0,且 f(A)f(B)0证明:至少存在一点 (a,b) ,使得

    5、f()=0;又至少存在一点 (a,b),使得 f()=022 取何值时,方程组 无解、有唯一解或无穷多解? 并在有无穷多解时写出其通解23 设 A,B 为两个 n 阶矩阵,且 A 的 n 个特征值两两互异若 A 的特征向量恒为B 的特征向量,则 AB=BA考研数学(数学二)模拟试卷 402 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 用分部积分法求之3 【正确答案】 B【试题解析】 A 中反常积分有两个瑕点,要将该积分分解为两个积分讨论:以上 3 个反常积分均收敛因而 B 中反常积分发散仅 B 入选

    6、4 【正确答案】 D【试题解析】 在极坐标变换 X=rcox,y=rsiN 下,有这仅能表示 f(x,y)与 r 无关,不能说明 f(x,y)为常数但 f(x,y)在 D 上不恒为常数,因此仅 D 入选5 【正确答案】 C【试题解析】 ,因此仅 C 入选6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x) 0 及 f(x)0 可知,函数 y=f(x)的图形为单调上升且是凸的值得注意的是当x 0 时,由图可知 y0,且 dy=f(x)x0,由图易看出y1dy,故ydy0,仅 A 入选7 【正确答案】 D【试题解析】 A+E = A+AA T=A(E+A T)=A(A+E)T=AA+E ,则 (1 一A

    7、)A+E =0又A0,故 1一A0,所以A+E=0仅 D 入选8 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法解之对于 A,例如 则 1 的秩与 1 的秩相等,但并不等价,可排除 A;又如 可由线性表示,但 32,可排除 B;又如则 1,2,3,4 与 2,3,4 均线性相关,且 1 可由 2,3,4 线性表示,可以排除 D只有 C 为正确答案,仅 C 入选二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 在式两边同乘 cosx,再在0 ,上积分得到11 【正确答案】 因 f(x)为可导的以 4 为周期的周期函数,则 f(x)也是以 4 为周期的可导函数,即 f(一 4)=f(0)而 故 f(一 4)

    8、=3,所以法线方程为12 【正确答案】 13 【正确答案】 由分部积分公式得14 【正确答案】 由题设知秩(B)1,又由 BA=0 知,秩 (A)+秩(B)3,即秩(B)3一秩(A)当 一 2 时,秩(A)=2 ,于是有秩(B)321,从而秩(B)=1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令16 【正确答案】 易求得17 【正确答案】 令 f(x)=0x(t 一 t2)sin2ntdt,则有 f(x)=(x 一 x2)sin2x=x(1 一 x)sin2nx当 0x1 时,f(x) 0,f(x) 严格单调增加当 x1 时,f(x)0(除去x=k(k=1,2,),

    9、f(x)严格单调递减因此 x=1 为 f(x)的极大值点,且 f(1)是 x0时 f(x)的最大值这说明,只要证明18 【正确答案】 由已知条件得故所求曲线 L 的方程为6 干 =arcsin(1r), sin(Tr6 干 )=sinarcsin(1r),19 【正确答案】 由题设知,显然 F(x)在0,1上连续,在 (0,1)内可导,且 F(0)=0,F(1)=0 ,则 F(x)在0,1上满足罗尔定理的诸条件由该定理知,存在一点(0, 1),使 F()=0,即20 【正确答案】 设 f(x)=ax2+bx2 一(a+b)x, 于是 f(x)=3ax 2+2bx 一(a+b) 显然 f(x)在

    10、0, 1上连续,在 (0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=0 根据罗尔定理知,在(0,1)内至少存在一点 ,使 f()=0,即方程 3ax 2+2bx 一(a+b)=0 在(0,1)内至少有一个根21 【正确答案】 由 f(A)f(B)0,不妨设 f(A)0,且 f(B)0由导数定义知因此存在 10,使得当 x(a,a+ 1)时,有因为 xa,故有 f(x)f(A) , 即 f(x)0, x (a,a+ 1)又由于故存在 20,使得当 x(b 一 2,b)时,有因为 xb,所以 f(x)f(B) ,即 f(x)0,x (b2,v)取 1, 2充分小,使 a+1b 一 2再取两点 x1(a,

    11、a+ 1),x 2(b 一 2,b),考虑区间x1,x 2显然 f(x)在x 1,x 2上连续,且 f(x1)0, f(x2)0因此由连续函数介值定理知,至少存在一点 (x1,x 2),从而 (a,b),使得 f()=0再由 f(A)=f()=f(B)及罗尔定理知,至少存在 1(a,)和 2(,b) ,使得 f(1)=f(2)=0又在区间 1, 2上应用罗尔定理,便知至少存在 (1, 2)c(a,b),使得 f()=022 【正确答案】 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换:于是,当时,原方程组无解,因 当 1且 时,原方程组有唯一解,因 当 =1时,原方程组有无穷多解,因用初等行变换将 进一步化成含有最高阶单位矩阵的矩阵:由特解及基础解系的简便求法得到其特解为 =1,一 1,0 T,基础解系为 =0,1,1 T,因此,其通解为 x=k+,k 为任意常数23 【正确答案】 证设 X1,X 2,X n 是 A 的分别属于其不同特征值1, 2, n 的特征向量,则 X1,X 2,X n 线性无关,且 AXi=iXi,令P=X1,X 2, ,X n,则 AP=AX 1,AX 2,AX n=1X1, 2X2, nXn由题设,可令BXi=iXi(i=1,2,n),则因 P 可逆,故由 BAP=ABP 得 BAP 一 1=ABPP 一 1,即 AB=BA


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