1、考研数学（数学二）模拟试卷 401 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 =( )（A）1（B）（C） 0（D）不存在2 如果 f(x)对任何 x 都满足 f(1+x)=2f(x)，且 f(0)存在，f(0)=2，则 f(1)=( )（A）4（B） 4（C） 8（D）一 83 已知函数 f(x)，g(x) 在 x=0 的某个邻域内连续，且则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不可导（B）可导，且 f(0)0（C）取得极小值（D）取得极大值4 设 f(x)，g(x) 是恒不为零的可导函数，且 f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当 0x1 时( )（A
2、）f(x)g(z)f(1)g(1)（B） f(x)g(x)f(0)g(0)（C） f(x)g(1)f(1)g(x)（D）f(x)g(0) f(0)g(x)5 已知 f(x)在 x=0 处的某邻域内二阶连续可导，且 其中 n为大于 1 的正整数，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大值点（B） x=0 为 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6 在直角坐标系 xOy 中，区域 D=(x，y)x 2+y22x， )，令x=rcos，y=rsin，则直角坐标系中的二重积分 可化为极坐标系
3、(r，) 中的累次积分( ) （A）（B）（C）（D）7 要使 1=1，一 1，1，1 T， 2=E8，-6，1，0 T 是齐次方程组 AX=0 的基础解系，则系数矩阵 A 可以是( ) （A）（B）（C）（D）8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x224x 324x 1x32x 2x3 的标准形为( )（A）2y 12+y227y 32（B） 2y21y 223y 32（C）一 2y12+y22（D）2y 21+y22+3y32二、填空题9 =_.10 设 u=sin(xy+3z)，其中 z=z(x，y)由方程 yz2 一 xz3=1 确定，则 =_.11 质量为 M，长为 L
4、 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a已求得杆对质点 C 的引力 其中 k 为引力常数现将质点 C 在杆的延长线上从距离近端 r0 处移至无穷远处时，其引力做的功为_12 微分方程 xy(5)一 y(4)=0 的通解为_13 设函数 f(x)三阶可导，且满足 f(x)+f(x)2=x，又 f(0)=0，则曲线 y=f(x)的拐点是_14 设 A，B 均为三阶方阵， 1=1， 2=2， 3=一 2 为 A 的三个特征值，B=一3，则行列式2A *B+B =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 u=f(x， y，z)，且
5、 z=rcossin， y=rsinsin， z=rcos ，证明：15 若 则 u 仅是 与 的函数；16 若 则 u 仅是 r 的函数17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且试证：对任意实数 k，在(a，b)内存在一点 ，使得18 设 当 r0 时有连续的二阶偏导数，且满足求函数 u(x，y)18 设参数方程 求证：19 由参数方程确定连续函数 y=y(x)(0x2)；20 y=y(x)在0，单调上升，在，2 单调下降；21 y=y(x)在0，2是凸函数22 设 且 ab证明：存在正整数 N 使得当 nN 时有xny n23 设二阶可微函数满足方程 0x(x+1 一 t)
6、f(t)dt=ex+x2 一 f(x)，求 f(x)24 设由 x=0， x=2，y=sinx(0xx2)，y=t(0t1)所围区域的面积为 S(t)，求S(t)的最大值与最小值24 设 A 是 n 阶矩阵， 1,2 n 是 n 维列向量，其中 n0，若A1=2，A 2=3，A n-1=n，A n=025 证明 1,2 n 线性无关；26 求 A 的特征值、特征向量27 已知 A=1,2,3,4T 是四阶矩阵， 1,2,3,4 是四维列向量若方程组 Ax= 的通解是1 ，2，2，1 T+k1，一 2，4，0 T，又 B=3， 2， 1， 一 4，求方程组Bx=1 一 2 的通解考研数学（数学二
7、）模拟试卷 401 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故极限不存在，仅 D 入选2 【正确答案】 A【试题解析】 由条件 f(1+x)=2f(x)知 f(1)=f(1+0)=2f(0)根据导数定义得仅 A 入选3 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知4 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知 为严格单调增函数，于是当x(0，1)时， 由于 g(x)是恒不为零的可导函数，因此 g(x)连续，从而g(x)保持恒定的符号，故 g(x)g(1)0于是由 得到 f(x)g(1)f(1)g(x)仅 C 入选5 【正确答案】 C【试题
8、解析】 由上述极限可知，在 x=0 的左右两侧 f(x)要改变符号，故 (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点仅 C 入选6 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 D 如右图所示由于 x2+y2=2x 的极坐标方程为 r=2cos，的极坐标方程为 ，故 D 的极坐标表示为于是仅 D 入选7 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法确定选项因 1， 2 为 AX=0 的基础解系，故 n 一秩(A)=4一秩(A)=2 ， 即 秩(A)=2 而秩(B)=秩(A) ，故秩(B)=2排除 A、B又 2=8，-6，1，0 不满足 D 中第 2 个方程 4x1+5x2+x4=0，也应排除 D仅 C 入选8
9、 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(0，0，1)=一 40，故 f 不正定又因 f(1，0，0)=20，故 f 不负定所以 B、D 不能入选又因二次型 f 的矩阵为而A0，故秩(A)=3，所以 C 不正确仅 A 入选二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 在方程 yz2xz 2=1 两边对 x 求偏导得 2yzzxz 33xz2zx=0，整理得所以 把 zx代入上式得11 【正确答案】 AB 为 x 轴，近端点为原点，正 x 轴指向 CC 的坐标为 x，则杆对 C 的引力 于是，C 从 r0 处移至无穷远时，引力做的功12 【正确答案】 令 y(4)=p，则原方程化为可降阶的方程：
10、xp一 p=0分离变量，得到 两边积分易求出其通解为 p=c1x，则 y(4)=c3x此又为可降阶的微分方程，连续积分 4 次即得所求通解为13 【正确答案】 将 x=0 代入所给方程，得到 f(0)=0在所给方程两端对 z 求导，得到 f(x)=12f(x)f(x)，则 f(0)=1010由得到 由极限的保号性知 f(x)在x=0 的左右两侧异号，故 f(x)的拐点为(0，f(0)14 【正确答案】 由题设知A= 123=一 4，A *的特征值分别为则 1=一 4， 2=一 2， 3=2而矩阵 2A*+E 的特征值为2i+1，即一 7，一 3，5，故行列式2A *+E=(-7)( 一 3)5
11、=105，从而行列式2A *B+B=(2A *+E)B=2A *+EB=105(-3)= 一 315三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 所谓 a 仅是 与 的函数，就意味着 u 与 r 无关由于所以 u 不依赖于 r16 【正确答案】 同(I)相类似，由题设得 则17 【正确答案】 令 F(x)=e-kxf(x)由题设知 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，不妨假定 f(A)0，则 而 e-kx0 ，故由闭区间上连续函数的零点定理(介值定理)知，存在点 c1，c 2，使 于是 F(x)在c 1，c 2上满足罗尔定理条件由该定理知，在(c 1，c 2)内
12、必存在一点 ，使 F()=0(c1c 2)，即F()=e-kf()一 kf()=0而 e-k0，故18 【正确答案】 由于 u(x，y)是 u(r)与 的复合函数，有19 【正确答案】 (t)=1 一 cost0(t(0，2)， (0)=(2)=0，又 (t)在0，2上连续，故 (t)在0，2上单调上升，值域为 (0)， (2)=0，2，得 x=(t)在0，2 上存在连续的反函数 t=t(x)，定义域为0，2因此，20 【正确答案】 由反函数的可导性及复合函数的可导性知，y=y(x)在(0，2)内可导，由参数式求导法，有 由于 t0，有x0，；t，2，x ，2 ，于是 因此，y=y(x) 在0
13、，上单调上升，在，2上单调下降21 【正确答案】 由于 y(x)在0，2上连续，则由 xE(0，2) 时，有(t(0，2)，即 x(0，2)y=y(x)在0，2 上是凸函数22 【正确答案】 因 ，则对于 0 存在正整数N1 与 N2，使当 nN 1 时，有 a 一 x na+ 当 nN 2 时，有 b 一 y nb+ 令 N=maxN1，N 2，则当 nN 时，由式 与式 同时得到23 【正确答案】 在所给方程两边关于 x 分别求一阶和二阶导数，得到 f(x)+0xf(t)dt=ex+2x 一 f(x)，且 f(0)=12，f(x)+f(x)=e x+2 一 f(x)故得微分方程的初值问题
14、则对应齐次方程的特征方程为 2+2=0，解得 1=0， 2=一 12对应齐次方程的通解为 Y=c1+c2e-x2 令非齐次方程的一个特解为 y *=y1*+y2*=Ax+Bex，代入方程 得到 A=2，B=13，故y*=y1*+y2*= 因而，原方程的通解为 由 y(0)=1，f(0)=1 2，得到 c1+c2+13=1， 一 c22+2+13=12，解得 c1=3，c 2=113，故24 【正确答案】 如右图所示，y=t 将 S(t)分为两部分，且令 S(t)=0 得唯一驻点为极小值点又 S(0)=1，S(1)=21，所以 S(t)的最大值为 1，最小值为 25 【正确答案】 令 k11+k
15、22+knn=0 由题设 A 1=2，A 2=3，A n-1=n，有 A n1=An-12 一一 An=0将 An-1 左乘式，得 k1n=0由于 n0，故k1=0 再依次用 An-2，A n-3，乘式，可得 k 2=K3=k3=0， 所以 1,2 n线性无关26 【正确答案】 由于 A 1,2 n=2,3 n，0因为 1,2 n 线性无关，矩阵 1,2 n可逆，从而 得知 A 的特征值全为 0又因秩(A)= 秩(B)一 n 一 1，所以 Ax=0 的基础解系由 n 一秩(A)=1 个向量组成，由 An=0.n 知，A 的线性无关的特征向量为 n，全部特征向量为 kn，k0 为任意常数27 【
16、正确答案】 由方程组 Ax= 的解的结构，可知秩(A)=秩( 1,2,3,4)=3，且 1+22+23+4=， 12 2+43=0，故 1,2,3 线性相关因为 B= 3， 2， 1，一 4=3， 2， 1， 1+22+23，且 1,2,3 线性相关，故秩(B)=2，所以 Bx=0 的一个基础解系只含 n 一秩(B)=42=2 个解向量由知，0，一 1，1，0 T 是方程组 Bx=1 2 的一个解又由 可知4，一2，1，0 T，2，一 4，0，1 T 是 Bx=0 的两个线性无关的解，故 Bx=1 一 2 的通解为0，一 1，1，0 T+k14，一 2，1，0 T+k22，一 4，0，1 T其中 k1，k 2 为任意常数
