1、考研数学（数学二）模拟试卷 361 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 7 A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则( )（A）A 不可逆，E-A 也不可逆（B） A 可逆，E+A 也可逆（C） A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且 A2 必为 08 设 an0(n1，2，3，)，S n=a1a 2a 3a n，则数列S n有界是数列a n收敛的 ( )（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分也非必要条件二、填空题9 _10 _。11 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n
2、 个特征值是_.12 13 14 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2004 年试题，三(8)设有齐次线性方程组试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解考研数学（数学二）模拟试卷 361 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 由行列式性质A 3
3、=A 3=0，可知 A 必不可逆，但从 (E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E，知 E-A ，E+A，E+A+A 2，E-A+A 2均可逆 当 A3=O 时，A 2 是否为 0 是不能确定的，例如：A 1=，有 A13=0， 但 A120，A 23=0，且 A22=0，故选(C)8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 ；【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 n-n-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 (-1,1)或-1 x1【试题解析】 13 【正确答案】
4、2【试题解析】 14 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 本题为 型未定式，可直接用洛必塔法则求解详解 1详解 2 考虑到分母为 x2，利用泰勒公式将分子 展开到 x 的二次幂。有评注 一般地，当分母(或分子) 为 xn 时，可考虑将分子(或分母)用泰勒公式展开到 xn 进行计算，这样往往比较简便【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 由题设，方程组系数矩阵为 经初等行变换可
5、化为 当 a=0 时，r(A)=1 1+x2+x3+x4=0，不难求得基础解系为 所以原方程组通解为 x=C11+C22+C33，其中 C1， C2，C 3 为任意常数当 a0 时，系数矩阵 A 可由初等行变换化为由已知原方程组有非 0 解，则 a=一 10，且 r(A)=3则基础解系为 所以原方程组通解为 x=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 本题在求 a 的取值时，也可通过分析系数矩阵的行列式A ，即由于方程组有非零解，则A=0，可求得 a=0 或 a=一 10余下步骤与原解法中相同解非齐次线性方程组时，通常化为增广矩阵的问题，但要注意对增广矩阵只能施行初等行变换，不能施行初等列变换【知识模块】 线性方程组
