1、考研数学（数学二）模拟试卷 316 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则在 xa 处（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0 （B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值 （D）f(x)的导数不存在 2 设矩阵 已知矩阵 A 相似于 B，则 r(A2E)与 r(AE)之和等于（A）2 （B） 3（C） 4（D）53 4 设函数 f(x)= ，则 f(x)在(-，+) 内( )（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点5 6 7 设函数 f(x)满足 f(0)=0，f (0)0，使得（A）曲线 y=
2、f(x)在区间(一 ，)内是凸弧（B）曲线 y=f(x)在区间(一 ，)内是凹弧（C）函数 f(x)在区间(一 ，0内单调增加，而在区间0，内单调减少（D）函数 f(x)在区间(一 ，O内单调减少，而在区间0，内单调增加8 (2007 年试题，一) 函数 在-，上的第一类间断点是 x=( )（A）0（B） 1（C）（D）二、填空题9 10 11 12 13 若二次型 f(x1，x 2，x 3)x 123x 22x 322x 1x22x 1x32x 2x3，则 f 的正惯性指数为_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 ，其中 为可微函数，求 16 17 18 19 2
3、0 设位于第一象限的曲线 yf(x)过点 ，其上任一点 P(x，y)处的法线与y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分 (1)求曲线 yf(x)的方程； (2)已知曲线ysinx 在0，上的弧长为 l，试用，表示曲线 yf(x)的弧长 s21 22 23 求下列函数的全微分：考研数学（数学二）模拟试卷 316 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 此题可先求 f(x)的表达式，再结合
4、 f(x)的函数图形求得因为所以根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见图)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导 (图形是尖点)所以选(C)5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 由 及 f(0) 由极限的保号性质可得存在 0，使得当 0 这表明当 0(x)与 x 反号，即在区间(一，0)内 f(x)0，而在区间(0，) 内 f(x)8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以x=0 是该函数的第一类间断点，故应选 A。评注A，B，C ，D 四个选项均为间断点，首先验证 x=0 为第一类间断点，选 A【知识模块】 函数、极限
5、、连续二、填空题9 【正确答案】 e(2e+3)/4【试题解析】 10 【正确答案】 (a,A)=(1,1/6)【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 1【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 应填 2【试题解析】 分析 正惯性指数就是二次型的标准形中正项的个数，可用特征值或配方法求解。详解 1二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵 ，由E A0 得 A 的 3 个特征值分别为：0，1，4所以 f 的正惯性指数为 2。详解 2将二次型配方得 f(x1，x 2，x 3)x 123x 22x 322x 1x22x 1x32x 2x3(x 1x 2x 3)22x
6、 22 故 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 二次型14 【正确答案】 (ln2-1)dx【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 (1)曲线 yf(x) 在点尸(x，y)处的法线方程为，其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标令 X0，则，故 Q 点的坐标为 由题设知 ，即 2ydyxdx0积分得 x 22y 2C(C 为任意常数)由 知 C1，故曲线 yf(x)的方程为 x 22y 21(2) 曲线 ysinx 在0，上的弧长为曲线 yf(x)的参数方程为故令 ，则【试题解析】 分析(1)先求出法线方程与交点坐标 Q，再由题设线段 PQ 被 x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线 yf(x)的方程(2)将曲线yf(x)化为参数方程，再利用弧长公式 进行计算即可评注 注意：只在第一象限考虑曲线 yf(x) 的弧长，所以积分限应从 0 到 ，而不是从 0 到 2【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 22 【正确答案】 B23 【正确答案】
