1、考研数学（数学二）模拟试卷 291 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 已知 f(x)二阶可导， ，则 f(1)的值为( )（A）1（B） -1（C） 2（D）-23 设 y 是由方程 所确定的 x 的函数，则 dy/dx=( )4 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在)y=y 0 处导数大于零（C） f(x0，y
2、)在)y=y 0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在5 设 F(x)= ，其中 f(x)在 x=0 处可导，f (x)=0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定6 微分方程 y-y=ex+1 的一个特解应具有形式(式中 a、b 为常数)为( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx7 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是 ( )（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的秩为零（C）特征值-1，1 对
3、应的特征值向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量8 设矩阵 A= ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似二、填空题9 若 x0 时，(1-a) 1/4-1 与 xsinx 的等价无穷小，则 a=_10 设 =_11 已知 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_12 改变积分次序 =_13 计算 =_14 设三阶矩阵 A= ，三维列向量 a=(a，1，1) T，已知 Aa 与 a 线性相关，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 z=f(e2siny，x 2+y2)，其中
4、f 具有二阶连续偏导数，求16 设 ，试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性17 设 试补充定义 f(1)，使得 f(x)在1/2，1上连续18 求19 设函数 f(x)可导，且 f(0)=0，F(x)=20 计算21 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，) 为任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程22 设线性方程组 ()与方程 x1+2x2+x3=a-1() 有公共解，求 a 的值及所有公共解23 设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 1=1， 2=2，
5、 3=-2，又 a1=(1，-1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证 a1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B考研数学（数学二）模拟试卷 291 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 (无穷小量乘有界变量仍为无穷小量)且 f(0)=0，可知 ，即 f(x)在 x=0 处连续又由可知即 f(x)在 x=0 处不可导，故选(C)2 【正确答案】 D【试题解析】 ，故选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 方程两边对
6、 x 求导得 ey*y+sinx=0，故 y=-(sinx/ey)又由故选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0， 于是 f(x0，y)在 y=y0 处导数为零，选(A)5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 知 ，可见F(x)在 x=0 处的连续，故应选(A) 6 【正确答案】 B【试题解析】 将 ex+1 看成 e*和 1 两个非齐次项， 因为 1 是特征根，所以对应于ex 特解为 zxex，对应于 1 的特解为 b， 因此原方程的特解为 axex+b(B)为答案7 【正确
7、答案】 C【试题解析】 由 1=-1， 2=0， 3=1 得A =0 ，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 则A=C+3E由E-C=0 得 C 的特征值为 1=-3， 2=3=0， 则 A 的特征值为0，3，3，B 的特征值为 1，1，0， 显然
8、 A 与 B 不相似，A 与 B 的正、负惯性指数均为 2，0，即 A 与 B 合同，故应选(B)二、填空题9 【正确答案】 -4【试题解析】 由题设，根据等价无穷小的定义，知10 【正确答案】 【试题解析】 由题设，11 【正确答案】 x+e x+C【试题解析】 令 lnt=t，则戈=e t，于是由题设有 f(t)=1+et，即 f(x)=1+ex 积分得f(x)=(1+ex)dx=x+ex+C12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 25/4【试题解析】 14 【正确答案】 (-1，1，1) T【试题解析】 由题设， 由 Aa 与 a 线性相关，知 Aa与 a 对应分量成比例，
9、则 所以(a=-1，即 a=(-1，1，1) T三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 =f1(exsiny，x 2+y2)exsiny+2xf2(exsiny，x 2+y2)=exsiny(f11excosy+2yf12)+excosrf1+2x(f12excosy+2y22) =f11sinxcosx+2ex(ysiny+xcosy)f12+4xyf22+f1excosy16 【正确答案】 连续性因为所以 f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1，即 f(x)在 x=0 处连续可导性因为 f_(0)=f+(0)=所以 f(0)=0即 f(x)在 x=0 处可导
10、，且 f(0)=017 【正确答案】 由题设，需补充 f(x)在 x=1 处的定义因为令 y=1-x，则当x1 -时，y0 +则 因此补充定义 f(1)=1/，就使得 f(x)=1/2，1上连续18 【正确答案】 19 【正确答案】 作变量代换 xn-tn=u，则 du=-ntn-1dt，于是于是20 【正确答案】 21 【正确答案】 根据题意，由面积与弧长的计算公式得将上式两边对 求导，得，此为可分离变量方程，从而 ，此式两边积分，得 即-arcsin(1/r)+C=由已知 r(0)=2，代入上式得 C=/6，故曲线 L 的方程为 ，由于 rcos=x，rsin=y，于是所求直线为22 【正
11、确答案】 因为方程组(1)、(2) 有公共解，则可组成如下方程组：因为方程组(3)的增广矩阵所以当 a=1 或 a=2 时，(1)与(2)有公共解当 a=1 时，方程组(3)化为 公共解为 x=k (kR)；当a=2 时，方程组(3)化为 公共解为 x=23 【正确答案】 (I)容易验证 Ana1=1na1(n=1，2，3，)，于是 Ba 1=(A5+4A3+B)a1=(15-413+1)a1=-2a1于是 -2 是矩阵 B 的特征值， k1a1 是 B 属于特征值-2 的全部特征向量(k 1R，非零)同理可求得矩阵 B 的另外两个特征值 1、1因为 A 为实对称矩阵，则 B 也为实对称矩阵，于是矩阵 B 属于不同特征值的特征向量正交设 B 的属于 1 的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则有方程 x1-x2+x3=0于是 B 的属于 1 的全部特征向量为 =k2a2+k3a3，其中 a2=(-1，0，1) T，a 3=(1，1，0)T， k2，k 3R。不全为零()令矩阵 P=(a1，a 2，a 3)= ，则 P-1BP=diag(-2，1，1)，于是 B=P.diag(-2，1，1)P -1= diag(-2，1，1)
