1、考研数学（数学二）模拟试卷 285 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是 ( )（A）f(0)是极大值，f(/2)是极小值（B） f(0)是极小值， f(/2)是极大值（C） f(0)是极大值， f(/2)也是极大值（D）f(0)是极小值，f(/2)也是极小值2 设 f(x)在a ，+)连续，则 是 f(x)在a，+) 内有界的( ) （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3 考察一元函数 f(x)的下列四条性质：f(x)在区间 a，b 上连续f(x)在区间 a，b 上
2、可积f(x)在区间 a，b 上存在原函数f(x)在区间 a，b 上可导若用 PQ 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（A）（B） （C） （D）4 设 f(x)=3x3+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 ( )6 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 其中 a 是比x( x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=( )（A）e /4（B） 2（C） （D）e /47 设 A 为反对称矩阵，且A0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵
3、，则A TA(B-1)T-1=( )8 设向量组()a 1，a 2，a s，其秩为 r1，向量组 () 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i：1，2 ，s)均可以由 a1，a s 线性表示，则( )（A）向量组 a1+1，a 2+2，a s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 a1-1，a 2-2，a s-s 的秩为 r1-r2（C）向量组 a1，a 2，a s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 a1，a 2，a a， 1， 2， s 的秩为 r1二、填空题9 若 =_10 设 f(x)连续，且 f(x)=0xe-f(t)dt，则 f(x)=_11 =_12 则出=_13
4、设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_14 若矩阵 A= ，B=A 2-3A+2E， 则 B-1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a试求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?17 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c) 内存在且单调减少 f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc18 19 设函数 f(x)a，b
5、 ，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb ，证明：(b-a)220 ，其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求21 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 个小时内，融化了其体积的 7/8，问雪堆全部融化需要多少小时 ?22 k 为何值时，线性方程组 ，有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解23 设矩阵 A= 已知线性方程组 AX= 有解但不唯一，试求 ()a的值； () 正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 285 答案
6、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在0 ，/2上可导，f (x)=xcosx0 在区间(0 ，/2) 上成立，所以函数 f(x)在区间0，/2上单调增加所以 f(0)f(x)f(/2)，即 f(0)是最(极)小值，f(/2)是最 (极)大值故选(B)2 【正确答案】 A【试题解析】 由 定义知，存在 x0a 使得 ax0，+)时 f(x)有界，又f(x)在a，x 0连续，则 f(x)在a，x 0有界，因此 f(x)在a，+)内有界，但 f(x)在a，+) 内有界， 不一定存在，如 f(x)=sinx，故选(A)3
7、 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)在区间a ，b 上可导，则 f(x)在区间a，b上必连续，由 f(x)在区间a ，b上连续可得到 f(x)在区间a ，b 上可积的结论，同时也说明 f(x)在区间a，b上存在原函数，故选(C)4 【正确答案】 C【试题解析】 3x 3 处处任意阶可导，只需考查 (x)=x2x，它是分段函数，x=0是连接点5 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续选项(B)相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，因此(A)， (B)均不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微，选项(D) 相当于已知两
8、个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0) 存在，但不能推导出两个一阶偏导数 fx=(x， y)，f y(x，y) 在点(0，0) 处连续，因此也不能保证 f(x，y)在点(0 ，0) 处可微，对于选项(C) ，若 则即 fx(0，0)=0同理有fy(0，0)=0从而有 根据可微的定义，知函数 f(x，y)在(0 ，0)处可微故应选 (C)6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设， ，且 a 是比x( x0) 高阶的无穷小从而此为可分离变量的微分方程，则，两边积分得 lny=arctanx+C由已知 y(0)=，代入上式解得C=ln，于是 y=earctanx，因此 y(1)=e/4，选(
9、A)7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 D【试题解析】 设 1，a 2，a r1。为 a1，a 2，a s 的极大无关组，则它也是 a1，a 2，a s， 1， 2， s 的极大线性无关组，所以 (D)结论成立二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 10 【正确答案】 lnx+1【试题解析】 令 y=f(x)，两边对 x 求导数，得 即 ef(x)=x+C，因为 f(0)=0，所以在 ef(x)=z+C 两边令 x=0，得 C=1， 所以有 ef(x)=x+1 f(x)=lnx+111 【正确答案】 e【试题解析】 原式12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】
10、x1【试题解析】 由题设，从而 x=x(t)是严格单调递增的，且 x(0)=1，所以 t0，所以 x 的取值范围为 x114 【正确答案】 【试题解析】 B=A 2-3A+2E=(A-2E)(A-E)= 故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由 该切线与 x轴和 y 轴的交点分别为(3a，0) 和 ，因此此切线与 x 轴和 y 轴所围成的平面图形的面积为 当切点沿曲线趋于无穷远时，分两种情况：(1)当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时， (2)当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，17 【正确答案】 当 a=0 时，f(0)=0 ，有 f(a+b)
11、=f(b)=f(a)+f(b)；当 a0 时，在0，a和b ， a+b上分别应用拉格朗日中值定理有显然 0 1ab 2a+bc，因f(x)在0 ，c 上单调减少，故 f(2)f(1)，从而有 因为 a0，所以有 f(a+b)f(a)+f(b) 总之，当 0aba+bc 时，f(a+b)f(a)+f(b)总成立18 【正确答案】 19 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，所以又因为 f(x)0，所以从而20 【正确答案】 21 【正确答案】 本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中以时间 t 作为自变量来建立微分方程，但依未知函数的不同选择而有以下两种方法：
12、(1)以半径 r 为未知函数，雪堆在时刻 t 的体积 V=(2/3)r3，侧面积 S=2r2，由题设知 化简上式即可得到以 r 为未知函数的微分方程，dr/dt=-k，解之得 r=-kt+C，由初始条件 r t=0=r0，可得出 C=r0，所以 r=r0-kt 又由已知 从而 雪堆全部融化时 r=0，从而 得 t=6，即全部融化需 6 小时(2)以雪堆体积 V 为未知函数，在时刻 t， ，侧面积 s=2r2，即 由题设，此即以 V 为未知函数的微分方程，分离变量得两边积分得 由已知，当 t=0 时，代入上式分别得到联立此二式可解出令 V=0，则 t=6，即雪堆全部融化需 6 小时22 【正确答案】 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形当 k-1 和 k4 时，有这时方程组有唯一解：当 k=-1 时，r(A)=2r(A)=3，方程组无解故方程组无穷多组解，这时，同解方程组为： 令 x3=c，得方程组的全部解：23 【正确答案】 () 由题设，AX= 的解不唯一，从而其系数矩阵的秩与增广矩阵阵的秩 相同但小于 3对增广矩阵做初等行变换，得不难推断出 a=-2因此() 下面求 A 的特征值及特征向量由 A-E=0，即可解出 1=3， 2=-3， 3=0，相应特征向量为单位化得 令
