1、考研数学（数学三）模拟试卷 463 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内存在二阶导数，且 =a0，则存在点(x0，f(x 0)的左、右侧邻域 使得 ( )（A）曲线 y=f(z)在 内是凸的（B）曲线 y=f(z)在 内是凹的（C）曲线 y=f(z)在 都是凹的（D）曲线 y=f(z)在 内都是凸的2 设函数 z=z(x，y)由方程 F( )=0 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则= ( )（A）x（B） y（C） z（D）03 设 anxn 在 x=3 处条件收敛，则 (x 一 1)n 在 x=一 1 处
2、( )（A）必绝对收敛（B）必条件收敛（C）必发散（D）敛散性要看具体的a n4 5 设非齐次线性方程组 Ax=b 有通解 k11+k22+=k1(1，2，0，2) T+k2(4，一 1，一 1，一 1)T+(0，0，0，1) T，其中 k1，k 2 是任意常数，则下列向量中不是 Ax=b 的解向量的是 ( )（A） 1=(1， 2，0，一 1)T（B） 2=(6，1，一 2，一 1)T（C） 3=(一 5，8，2，一 3)T（D） 4=(5， 1，一 1，一 2)T6 设 A= ，则 AB； A B； AB； A= B， 其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设(X
3、，Y) 是二三维连续型随机变量，下列各式都有意义，若 X 与 Y 独立，则下列式中必成立的个数为 ( ) E(XY)=EXEY； F XY (xy)=f X(x)； PXx， Yy=1 一 FX(x)FY(y)； 令 Z=X+Y，则 FZ(z)=-+FX(zy)Y(y)dy（A）1（B） 2（C） 3（D）48 假设总体 X 在非负整数集0，1，2，k 上等可能取值，k 为未知参数，x1，x 2，x n 为来自总体 X 的简单随机样本值，则 k 的最大似然估计值为 ( )（A）x n（B） （C） minx1，x n（D）maxx 1，x n二、填空题9 直角坐标中的累次积分 I= f(x，y
4、)dy 化为极坐标先 r 后 次序的累次积分 I=_10 设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 f(x)=0xf(zt)dt+01f2(t)dt，则 f(x)=_11 设常数 a 0，双纽线(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)围成的平面区域(如图)记为 D，则二重积分 (x2+y2)d=_12 =_13 设方程组() ： 则x1+x2+x3=_14 已知随机变量 X1，X 2，X 3 的方差都是 2，任意两个随机变量之间的相关系数都是 ，则 的最小值=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 F(x)=-+xt dt，求 F“(x)16 设 D=(x，
5、 y)0x2 ，0y2，计算 xy 一 1d17 ()叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微及微分 的定义；()证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与fy(x0，y 0)都存在，且 =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y，()举例说明()的逆定理不成立18 设 f(x)在闭区间a，b上连续，常数 k0并设 (x)= xbf(t)dtkaxf(t)dt 证明：()存在 a，b，使 ()=0； ()若增设条件 f(x)0，则()中的 是唯一的，且必定有 (a，b) 19 设函数 f(t)在0，+)上连续
6、，且满足方程求 f(t)20 设 A= ，X 是 2 阶方阵( )求满足 AX 一 XA=O 的所有 X；()方程AX 一 XA=E，其中 E 是 2 阶单位阵问方程是否有解 ?若有解，求满足方程的所有 X；若无解，说明理由21 已知 A= ，求 A 的特征值，并讨论 A 可否相似对角化22 设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= ()求 Z=X一 2Y 的概率密度；() 求 PX 23 设 X1，X 2，X 5 是总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，X= X()令随机变量 Y= +(X4 一 X5)2，求 EY 与DY；() 求随机变量 Z= 的分布；()给定 (0 05)，常数c
7、 满足 PZc= ，设随机变量 UF(2，1)，求 PU 考研数学（数学三）模拟试卷 463 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由所给条件推知存在 x=x0 的去心邻域0于是知， 当 x (x0)且 xx 0 时，f“(x)0，曲线是凸的；当 x (x0)且 xx 0 时，f“(x)0，曲线是凹的故应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 对方程 F( )=0 两边关于 x 求偏导数，得再将原方程两边对 y 求偏导数，得3 【正确答案】 A【试题解析】 anx 在 x=3 处条件收敛，所以收敛半径 R=3，所以 (x 一
8、1)”的收敛区间为(一 2，4) ，而 x=一 1(一 2，4)，所以，在 x=一 1 处，该幂级数绝对收敛选 A4 【正确答案】 D【试题解析】 作积分变量代换，令 u=xt，5 【正确答案】 B【试题解析】 若 是 Ax=b 的解，则 可表示成 k11+k22，即 一=k11+k22若 一 可由 1， 2 线性表示，则是 Ax=0 的解；若不能由 1， 2 线性表示，则不是 Ax=0 的解将 1， 2， 1 一 ， 2 一 ， 3 一 ， 4 一 合并成矩阵，并一起作初等行变换故知，2 一 不能由 1， 2 线性表示，不是 Ax=0 的解向量( 1 一 ， 3 一 ， 4 一 是解向量)，
9、故应选 B6 【正确答案】 D【试题解析】 四项均正确 将 A 的 1，3 行互换，且 1，3 列互换得 B，即E13AE13=B(或 E24AE24=B)因 E13=E13=E13，故有 E13AE13=B，即AB；E 13AE13=B，即 A B；E 13AE13=B，即 AB，且A = B 故应选D7 【正确答案】 C【试题解析】 显然成立； 成立，事实上 f XY (xy)= =fX(x)； 不成立，事实上 PXx，Yy=1 一=1 一 PXxYy 1一FX(z)FY(y)； 成立，事实上 F Z(z)=PX+Yz= fX(x)fY(y)dxdy =-+-zyfX(x)dxfY(y)d
10、y=-+FX(zy)fY(y)dy8 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，知 X 的分布律似然函数 L(x1，x n；k)= (0xik，i=1，2，n) 则 ln L=一 nln(k+1)，故0，又 kx1，kx 2，kx nkmaxx 1，x n 所以 k 的最大似然估计值为 k=maxx1，x n二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 按题目上、下限，积分区域 D 如图阴影部分所示，对 y 的积分上限方程 y= ，化为极坐标为 r=2acos 。对 y 的积分下限方程 y=2a，化为极坐标为 r=4asin 。OA 的倾斜角记为 0，tan 0= 于是，由极坐标，直线段 OA 将 D
11、 分成两块，在极坐标系中，积分如答案所示10 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= 0xf(xt)dt+01f2(t)dt(第个积分令 xt=u) =一 x0f(u)du+01f2(t)dt=0xf(u)du+01f2(t)dt令 01f2(t)dt=a，于是 f(x)= 0xf(u)du+a，f(x)=f(x) ，f(0)=a ，解得 f(x)=Cex由 f(0)=a，得 f(x)=aex，代入 01f2(t)dt=a 中，得 a= 01f2(t)dt=a201e2tdt= (e21)解得 a=0(舍去) ，a 11 【正确答案】 a【试题解析】 由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都
12、对称，所以12 【正确答案】 一 1【试题解析】 13 【正确答案】 2【试题解析】 法一 解方程组()，求出 x1，x 2，x 3，代入即得对方程组()的增广矩阵作初等行变换，对应齐次方程组的基础解系为(一 3，1，2) T，非齐次方程组的特解为(一 5，0，7) T，通解为 k( 一3，1，2) T+(一 5，0，7) T=(一 3k 一 5，k，2k+7) T，将通解代入 x 1+x2+x3=(一 3k 一5)+k+(2k+7)=2故应填 2法二 由 3+2 得 x1+x2+x3=一 48+50=2，故应填214 【正确答案】 【试题解析】 由题可得 D(X1+X2+X3)=DX1+DX
13、2+DX3+2Coy(X1，X 2)+2Cov(X1，X 3)+2Cov(X2，X 3) =32+62=32(1+2)0，所以 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将第一个积分作积分变量代换，令 t=一 u，并将变换后的 u 仍记为 t，并与第二项合并，注意到这两个反常积分都是收敛的，于是16 【正确答案】 作出区域 D，如图所示在 D 中作曲线 y= ，将区域 D 分成 D1，D 2 及 D317 【正确答案】 () 定义：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域 U 内有定义，(x 0+x，y 0+y)U增量 z=f(x 0+x，y 0+y)一
14、f(x0，y 0) Ax+By+()， (*)其中 A，B 与x 和y 都无关，= =0，则称 f(x，y)在点(x 0， y0)处可微，并称 为 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的微分( )证 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则(*)式成立令 y=0，于是令x0，有=B证明了 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在，并且 =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y()当 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在时，z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处未必可微反例：同理 f y(0，0)=0两个偏导数存在以下用反证法证出 f(x，y)在点
15、(0，0) 处不可微若可微，则有 f=f( x，y)一 f(0， 0)=0x+0y+()，但此式是不成立的例如取y=k x，极限值随 k 的变化而变化，(*)式不成立，所以 f(x，y)在点(0 ，0)处不可微18 【正确答案】 ()(a)= abf(t)dt，(b)=一 kabf(t)dt， (a)(b)=一 kabf(t)dt0 如果 abf(t)dt=0，则 (a)(b)=0取 =a 或 =b，使 ()=0如果 abf(t)dt0，则 (a)(b)0，存在 (a，b)使 ()=0综上，存在 a，b使 ()=0证毕 ( )若增设条件 f(x)0，则 (x)=一 f(x)一 kf(x)=一(
16、k+1)f(x)0 由于 f(x)连续且 f(x)0，所以或者 f(x)0，或者 f(x)0，所以 (x)在a，b上严格单调， 则 (x)至多有一个零点，又由() 知 (a)(b)0，则( )中的 是唯一的，且 (a，b)19 【正确答案】 化为极坐标，得 此为 f(t)的一阶线性微分方程由通解公式，得 又由题设有 f(0)=1，因此 C=1从而 f(t)=(4t2+1) 20 【正确答案】 () 用待定元素法求 X设 X= ，代入方程，得取x3=2k1，得 x2=一 k1取 x4=k2，得 x1=k2故 X= ，其中 k1，k 2 是任意常数() 法一 AX 一 X4=E，设 X= ，由()
17、得显然方程组中第 1个和第 4 个方程相互矛盾，故矩阵方程 AX 一 XA=E 无解法二 由()易知 tr(AX)=tr(XA)，故 tr(AX 一 XA)=tr(AX)一 tr(XA)=0tr(E)=2故矩阵方程 AX 一 XA=E无解21 【正确答案】 故有1=1+a， 2=a， 3=1 一 a看特征方程是否有重根，对任意的 a， 1=1+a2=a若1=1+a=3=1 一 a，则 a=0；若 2=a=3=1 一 a，则 a= 故当 a0且 a 时，123，A 有三个不同的特征值，可以相似对角化当 a= ，是二重特征值由于 EA)=2，对应线性无关特征向量只有一个，故 A 不可相似对角化当
18、a=0 时， 1=3=1，是二重特征值由于 EA= ，则 r(EA)=2，对应线性无关特征向量也只有一个，故 A不可相似对角化22 【正确答案】 () 法一 分布函数法由分布函数的定义 FZ(z)=PZz=PX 一2Yz，可知当 z一 1 时，F Z(z)=0；当一 1z0 时，积分区域如图(a)所示：当 0z1 时，积分区域如图(b)所示： FZ(z)=PX 一 2Yz=1 一 PX 一 2Yz =1 一 (1z)2；当 z1时，F Z(z)=1综上法二 公式法 fZ(z)=-+f(z+2y，y)dy ，法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布即条件Y= 等价于在直线 AB上随机投点，再要求X 等价于范围缩小到 AC 上随机投点，如图所示，23 【正确答案】 () 设 X1，X 2，X 5 是来自总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，由 2(2)，得()由 Zt(2)Z 2F(1 ， 2) 与 U 同分布，则 PU =PZ2c 2=P一 cZ c=12
