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    [考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷441及答案与解析.doc

    • 资源ID:844225       资源大小:506KB        全文页数:17页
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    [考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷441及答案与解析.doc

    1、考研数学(数学三)模拟试卷 441 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f() ,则 f()在 0 处( )(A)不连续(B)连续但不可导(C)可导但 f()在 0 处不连续(D)可导且 f()在 0 处连续2 设 f() ,当0 时,f()是 g()的( ) (A)等价无穷小(B)同阶但不等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小3 设 ,且D(,y) (1) 2(y1) 22,则有( )(A)I 1I 2 I3(B) I2I 3I 1(C) I3I 1I 2(D)I 3I 2 I14 设级数 (1) nan2n 收敛,则级数 an( )(A)

    2、绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性不定5 已知 n 维向量组(i) 1, 2, s(ii)1, 2, t 的秩都为 r,则下列命题中不正确的是( ) (A)若 st,则向量组(i)与(ii)等价(B)若向量组(i)是(ii) 的部分组,则向量组 (i)与(ii) 等价(C)若向量组(i)能由(ii)线性表示,则向量组(i) 与 (ii)等价(D)若向量组(iii) 1, 2, s, 1, 2, t 的秩为 r,则向量组(i)和(ii)等价6 矩阵 与( ) 相似(A)(B)(C)(D)7 设随机变量 X,Y,Z 相互独立,且 XN(1,2),Y N(2,2),Z N(3,7),记 a

    3、PX Y,bPYZ ,则( )(A)ab(B) ab(C) ab(D)无法确定8 当事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 必发生,则下列结论正确的是( ) (A)P(C)P(AB)(B) P(C) P(A)P(B)(C) P(C)P(A)P(B)1(D)P(C)P(A)P(B) 1二、填空题9 _10 设 aed,则常数 a_11 设函数 f(t)有二阶连续的导数, r ,g(,y)f( ),则_12 设 f() 若 f()在 0 处的二阶导数存在,则a_13 设 Dn ,则 Dn 中所有元素的代数余子式之和为_14 设总体 XN(,2 2),X 1,X 2,X n 为取自总体的一个样本,

    4、为样本均值,要使 E( ) 201 成立,则样本容量 n 至少应取 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 就常数 a 的不同取值情况,讨论方程 e a(a0)的实根17 设 f(,y) 求 f(,y)ddy ,其中D(,y) 2y 22y18 讨论函数 f(,y) 在点(0,0)处 ()是否连续; ()偏导数是否存在; ()是否可微; ( )偏导数是否连续19 设有级数 ()求此级数的收敛域; ()证明此级数的和函数y()满足微分方程 yy1; ()求微分方程 yy1 的通解,并由此确定该级数的和函数 y()20 设齐次线性方程组 AO 的基础解系为 1(1,3

    5、,0,2)T, 2(1,2,1,3) T B0 的基础解系为 1(1,1,2,1)T, 2(0,3,1,a) T 若 A0 和 B0 有非零公共解,求 a 的值并求公共解21 已知矩阵 A 和 B 相似,求 a,b 及一个可逆矩阵 P,使P-1APB22 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量 UXY 的方差23 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为其中0,0 是常数,引入随机变量 Z ()求条件概率密度fX Y(y) ; ()求 Z 的分布律和分布函数考研数学(数学三)模拟试卷 441 答案与

    6、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(0) 当 0 时,f() , 当 0 时,f()所以,f(0) 因此 f()在 0 处可导,且 f()在 0处连续 故应选 D2 【正确答案】 B【试题解析】 所以,当 0 时,f()是 g()的同阶但不等价的无穷小 故应选 B3 【正确答案】 A【试题解析】 当被积函数连续时,在同一积分区域上比较积分大小即可只要比较被积函数的大小,由题目知被积函数为 的方幂,因此只需看 是否小于或大于 1,如图 11 所示当(,y) D 时,有 0 1,从而有 (等号不恒成立), 所以 I1I 2I 3

    7、故应选 A4 【正确答案】 A【试题解析】 因为级数 (1) nan2n 收敛,故 (1) nan2n0,即 a n 220,于是有 0,又因为级数 收敛,所以 a n收敛,即 an 绝对收敛 故应选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 取向量组(i): 和向量组(ii):则向量组(i)的秩为 2,向量组(ii)的秩也为 2但显然(i) 与(ii)不等价 故应选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 令矩阵 A ,则 A 的特征值为 1 和 2 而(A)选项中矩阵的特征值为1 和2,故矩阵 A 不与 A 选项的矩阵相似 又因为 2,而B 选项中 0,C 选项中 2,故矩阵 A 不与 B、C 选项

    8、的矩阵相似 所以,矩阵 A 与 D 选项的矩阵相似 事实上, 均与对角阵相似再由相似的传递性, 相似 故应选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 XyN(1,4),yZN(1,9),则 aPXYPXY0 , bPYZPYZ0, 由于分布函数 ()单调增加,所以 ab 故应选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 由题意 AB C 及概率广义加法公式 P(AB)P(A) P(B) P(AB),得 P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AUB)P(A)P(B)1 故应选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 故应填 10 【正确答案】 2【试题解析】 由题意知 ea (a1)e a,解得

    9、 a2 故应填 211 【正确答案】 【试题解析】 因为 ,则利用对称性可得故应填12 【正确答案】 2【试题解析】 当 0 时,f()2e 2;当 0 时,f()2a2; 由于 f(0)存在,则 f()在 0 处连续,且 f(0)limf() 2,则故 f (0)f (0),即 a 2 故应填 213 【正确答案】 n!【试题解析】 因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,所以 1.A 111.A 121.A 1nD nn! 因第一行元素与第 i 行(i2)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,所以 1.A i11.A i21.A in0 故所有元素代数余子式之和为 n! 故应

    10、填 n!14 【正确答案】 40【试题解析】 , 解得 n40故 n40 故应填 40三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 令 f()e a,则 f()(1)e ,f()( 2)e 令f()0,得驻点 1 由于当 ( ,1)时,f() 0,f() 在(,1)单调增加,当 (1, )时,f()0,f()在(1,)内单调减少, 所以 f()在 1 处取得极大值,即最大值为 f(1)e -1a 则当 e-1a 0 时,即 a 时,f()f(1)0,方程 e-a 无实根 当 e-1a0,即 a 时,只有 f(1)0,而当 1时,f()f(1)0,方程

    11、 e-a 只有一个实根 1 当 e-1a 0,即 a 时,由于 (e-a) ,f(1) e -1 a0,f()在(,1)内单调增加,则 f() 0 在( ,1)内只有一个实根 又因a0,f(1) e -1a 0, f()在(1,)内单调递减,则 f()0 在(1 ,)内只有一个实根 所以方程 e a 正好有两个实根17 【正确答案】 设 D1(,y)1 2y 22y 且 0,如图 61 所示,则当 0 时,由 得交点 M() 令 rcos,yrsin 引入极坐标系(r,),则点 M 的极坐标为(1, ),从而,在极坐标系下 D118 【正确答案】 () 当(,y)(0,0)时,f(,y) 2y

    12、 2,故 f(,y)0f(0,0),所以函数在(0 ,0)处连续 ()在(0,0)处,即 f(,y)在(0,0)处关于 的偏导数存在,且 f(0,0)0 同理,f y(0,0)也存在,且fy(0,0)0 ()由(2)知,f (0,0)f y(0,0) 0, 函数在(0,0)处的全增量: zf(,y)f(0,0)( )2( y)2sin 2sin , 其中 故 z f (0,0) f y(0,0)y 2sin 因为所以z f (0,0)f y(0,0) yo() 故函数 f(,y)在(0 ,0)处可微,且 dzf (0,0) f y(0,0) y0 () 当 (,y)(0,0)时故 均不存在 所

    13、以 f(,y),f y(,y) 在(0,0)处都不连续19 【正确答案】 () 对于任意 ,有所以收敛域为( ,) ( ) 应用幂级数和函数的性质证明: y()2 , ( ,)即 y()满足微分方程 yy1 ()yy0 的特征方程 r210 的特征根为 r1,于是对应齐次方程的通解为 YC 1eC 2e ,又特解为 y*1,故yy1 的通解为 yC 1eC 2e 1 又幂级数的和函数 y()满足 y()y()1,且 y(0)2,y(0)0,则 y()即为微分方程 yy1 满足初值条件 y 0 2,y 0 0 的特解, 即 则 C1C 2 所以和函数 y() 120 【正确答案】 设非零公共解为

    14、 ,则 既可由 1 和 2 线性表示,也可由 1 和2 线性表示 设 11 22 31 42,则 11 22 31 4200 1, 2, 3, 4 不全为零 R(1, 2, 1, 2)4 a0 当 a0 时,则 12t, 2t, 3t, 4t 所以非零公共解为 2t1t 2t(1, 4,1,1) T,其中 t 为非零常数21 【正确答案】 因为 A,B 相似,所以AB,且 tr(A)tr(B),EA (3)(5) 16 221516 221(1) 2 故 A 的两个特征值为1,1 但(E A) 因此 R(EA) 1,所以不能对角化 设 P ,满足 P-1APB,即有 APPB ,从而整理得解得

    15、基础解系为所以可令 P,则有 P-1AP B22 【正确答案】 三角形区域为 G(,y)01,0y1,y1;随机变量X 和 Y 的联合密度为 以 f(u)表示 UX Y 的概率密度,当 u1 或 u2 时,显然 f(u)0 设 1u2,当 01 且 0u1 时,f(,u)2,否则 f(, u)0由随机变量之和的概率密度公式,有 f(u) f(,u)d u-112d2(2u) 因此 E(X Y)E(U) uf(u)du2 12u(2 u)du , E(XY)E(U *) u2f(u)du2 12u2(2u)du , D(U) D(Xy)E(XY) 2E(X Y) 2 23 【正确答案】 () 由 X 和 Y 相互独立,故 f(,y)f X().fY(y) 当 y0 时,()由于 Z且故 Z 的分布律为 Z 的分布函数为


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