1、考研数学（数学三）模拟试卷 427 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( ) （A）3（B） 4（C） 5（D）62 曲线 的渐近线条数为( )（A）3 条（B） 2 条（C） 1 条（D）0 条3 下列命题正确的是( ) （A）若 收敛（B）设 收敛（C）若 收敛（D）设 an 0，b n0，且 收敛4 设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 ，则( ) （A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） fx(0， 0)=fy(0，0)=4 且
2、f(x，y)在(0，0)处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0 ，0)处可微分5 设 A 为三阶矩阵 的解，则( )（A）当 t2 时，r(A)=1（B）当 t2 时，r(A)=2（C）当 t=2 时，r(A)=1（D）当 t=2 时，r(A)=26 设 ， 为四维非零的正交向量，且 A=T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(x)+08F 1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（A）03
3、6（B） 044（C） 064（D）18 设 X1，X 2，X 3，X 4，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本，则 a=( )（A）2（B）（C）（D）1二、填空题9 =_。10 设由 x=zey+z 确定 z=z(x，y)，则 dz (e,0)=_11 =_。12 y一 2y=e-x 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m，一 m，1) T 是方程组 AX=0 的解，2=(m， 1，1 一 m)T 是方程组 (A+E)X=0 的解，则 m=_14 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 3，X 4 为总体 X 的简单随机样本，_。三、解答题解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内三阶可导，且证明：存在 (0，2)，使得 f()=916 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex+ey=ez 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求16 设某工厂产甲、乙两种产品，设甲、z,N 种产品的产量分别为 x 和 y(吨)，其收入函数为 R=15x+34yx2 一 2xy 一 4y2 一 36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨需要支付排污费用 2 万17 在不限制排污费用的情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润18 当排污总费用为 6 万时，这两种产品产
5、量各多少时总利润最大?求最大利润19 求幂级数 的收敛域与和函数20 求微分方程 y+y一 2yxex+sin2x 的通解21 设 ，B 为三阶非零矩阵, 的解向量，AX=a 3 有解(1)求常数 a，b() 求 BX=0 的通解22 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 的秩为 1，且(0，1，一1)T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 a，b； (II) 求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX 化为标准形23 设随机变量 X 的分布律为 P(X=k)一 p(1p) k-1(k=1，2，)，y 在 1k 之间等可能
6、取值，求 PY=3)24 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi=一X(i=1，2，n)求 (I)D(Y i)(i=1，2，n)； ()Coy(Y 1，Y n)； ( )P(Y1+Yn0)考研数学（数学三）模拟试卷 427 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 k 一 2=3，即 k=5，选 C2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 当 t2时, 为 AX
7、=0 的两个线性无关的解，从而 3 一 r(A)2，r(A)1，又由 A0得 r(A)1，即 r(A)=1，应选 A6 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX=X，则 A2X=2X，因为 ， 正交，所以T=T=0，A 2=T.T=0，于是 2X=0，故 1=2=34=0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r(T)r()一 1，所以 r(A)=1因为4 一 r(OEA)=4 一 r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X1E(1)，其密度函数为 其分布函数为F1(x)= 且 E(X1)=D(X1)
8、=1，则 E(X12)=D(X1)+EE(X1)2=28 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 将 x=e，y=0 代入得 z=1x=ze y+z 两边求微分得 dx=zey+zdy+(z+1)ey+zdz，将 x=e，y=0，z=1 代入得11 【正确答案】 【试题解析】 因为 为奇函数，所以12 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 2 一 23=0 ，特征值为 1=一 1， 2=3，则方程 y一2y一 3y=0 的通解为 y=C1e-x+C2e3x令原方程的特解为 y0(x)=Axe-x，代入原方程得，于是原方程的通解
9、为13 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0为 A 的特征值， 1=(m，一m，1) T 为其对应的特征向量；由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，A+E =0，=一 1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为2=(m，1，1m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(3)【试题解析】 由三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2，P(1)=1，P(2)=6则 (x
10、)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=p(2)=0因此 (x)在0 ，1和1，2 上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)，使得 (1)=(2)=0又 (0)=0，由罗尔定理，16 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得17 【正确答案】 利润函数为 L=RC=15x+34yx2 一 2xy 一 4y2 一 36 一 x 一2y=14x+32yx2 一 2xy 一 4y2 一 36 因为只有唯一一个驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当 时，利润达到最大，最大利润为 L(4，3)=40(万)18 【正确答案】 令 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y
11、 一 6)，因为该实际问题一定有最大值，故当时，总利润最大，且最大利润为 L(2，2)=28(万)19 【正确答案】 20 【正确答案】 特征方程为 2+ 一 2=0，特征值为 =一 2，=1，y+y 一 2y=0 的通解为 y=C1e-2x+C2ex 设 y+y一 2y=xex， (*)y+y一 2y=sin2x (*)21 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 解得 a=3b由 AX=3 有解得 r(A)=r(A： 3)，b=5，从而 a=15由 1,2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3 一 r(B)2，从而 r(B)1，再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1,2 为 BX=0 的一个基础解系，故 BX=0 的通解为22 【正确答案】 23 【正确答案】 令 AK=X=k)(k=1，2，)，B=Y=3)，P(BA 1)=P(BA 2)=0，24 【正确答案】
