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    [考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷404及答案与解析.doc

    • 资源ID:844188       资源大小:907KB        全文页数:15页
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    [考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷404及答案与解析.doc

    1、考研数学(数学三)模拟试卷 404 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 (x)= ,当 x0 时,(x)是 (x)的 ( )(A)等价无穷小(B)同阶但不等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小2 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 又设 f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足 x2f“(x)一f(x) 2=xg(x)则 ( )(A)f(0)是 f(x)的极大值(B) f(0)是 f(x)的极小值(C) f(0)不是 f(x)的极值(D)f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定3 设 an0,且当 n时,a n ( )(A)条

    2、件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性由具体的 an 决定4 设 a 与 b 是两个常数,且 =b,则 ( )(A)a 为任意数, b=0(B) a=一 ,b=0(C) a=0,b=1(D)a= 一 ,b=05 设 A 是 n 阶矩阵,则下列说法错误的是 ( )(A)对任意的 n 维列向量 ,有 A=0,则 A=O(B)对任意的 n 维列向量 ,有 AT=0,则 A=O(C)对任意的 n 阶矩阵 B,有 AB=O,则 A=O(D)对任意的 n 阶矩阵 B,有 BTAB=O,则 A=O6 已知 n 阶矩阵 A 和 n 阶矩阵 B 等价,则必有 ( )(A)A+E 和 B+E 等价(B) A2

    3、 和 B2 等价(C) AB 和 BA 等价(D)一 2A 和 3B 等价7 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布,则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是 ( )(A)X+Y(B) XY(C) maxX,Y)(D)minX,Y) 8 设 X1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,EX=,DX=1,下面说法中正确的是 ( )(A) N(0,1)(B) E( )=2(C)由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数)(D)若 为未知参数,则样本均值 既是 的矩估计,又是 的最大似然估计二、填空题9 设 y=y(x)是由方程 x= =_10 =_11 设 y=y(x)

    4、是由 y3+(x+1)y+x2=0 及 y(0)=0 所确定,则=_12 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_13 设 A= ,B 是 23 矩阵,满足 BA=0,则 B=_。14 某单位员工中有 90的人是基民(购买基金),80的人是炒股的股民,已知在是股民的前提条件下,还是基民的人所占的比例至少是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线,该切线与曲线 y=ex 及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D ()求 D 的面积 A; ()求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体的体积 V16

    5、 ( )叙述并证明费马 (Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件);( )叙述并证明极值的第一充分条件17 设 z=f(x,y),z=g(y,z)+( ),其中 f,g, 在其定义域内均可微,计算中出现的分母均不为 0,求 18 设 f(x)在区间(0,1)内可导,且导函数 f(x)有界,证明:级数绝对收敛19 某人向银行贷款购房,贷款 A0(万元),月息 r,分 n 个月归还,每月归还贷款数相同,为 A(万元)(此称等额本息还贷,目前各银行都采用这个办法还贷)设至第t 个月,尚欠银行 yt(万元 ) ()试建立 yt 关于 t 的一阶差分方程并求解; (11)利用t=n 时 yt=0

    6、,建立每月应向银行还贷 A (万元)依赖于 n 的计算公式20 设向量组(i) 1=(1,2,一 1)T, 2=(1,3,一 1)T, 3=(一 1,0,a 一 2)T, (ii)1=(一 1,一 2,3) T, 2=(一 2,一 4,5) T, 3=(1,b,一 1)T 设 A=(1, 2, 3),B=(1, 2, 3) 问( )a,b 为何值时,矩阵 A,B 等价;a ,b 为值何时,A ,B不等价; ()a,b 为何值时,向量组(i),(ii)等价; a,b 为何值时,向量组(i),(ii)不等价21 已知 A 是 3 阶方阵,A 的每行元素之和为 3,且齐次线性方程组 Ax=0 有通解

    7、k1(1,2 ,一 2)T+k2(2,1,2) T,其中 k1,k 2 是任意常数,=(1,1,1) T ()证明:对任意的一个 3 维向量 ,向量 A 和 线性相关; ()若 =(3,6,一 3)T,求A22 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且服从同一分布,PX=i=PY=i)= ,i=1,2 ,3令 U=maxX,Y),V=minX , Y)求 ()(U,V) 的概率分布; ()Z=XU 的概率分布; ()Cov(X,U)23 设随机变量 X 的密度函数为 f(x),已知方差 DX=1,而随机变量 Y 的密度函数为 f(一 y),且 X 与 Y 的相关系数为一 ,记 Z=X+Y,求 ()

    8、EZ,DZ; ()用切比雪夫不等式估计 PZ 2 考研数学(数学三)模拟试卷 404 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 用洛必达法则直接比较 (x)与 (x)时计算量较大,分别与 xk 去比较会简便一些从而知,当 x0 时,(x) 与 (x)是同阶但不等价的无穷小,故应选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 所以f(0)为 f(x)的一个极小值3 【正确答案】 D【试题解析】 举例说明敛散性由具体a n决定4 【正确答案】 B【试题解析】 故应选(B) 5 【正确答案】 B【试题解析】 选项(A) 对任意的 n 维列向量

    9、 ,有 A=0分别取 1=(1,0,0)T, 2=(0,1, ,0) T, , n=(0,0,1) T 代入,即得aij=0(i=1,2, ,n;j=1,2,n)故 A=0选项(C)、(D)对任意的 n 阶矩阵B,有 AB=O 及 BTAB=0只要取 B=E,即可得出 A=0故由排除法,应选(B)6 【正确答案】 D【试题解析】 n 阶矩阵 A 和 B 等价,故 r(A)=r(B) r(A)=r(2A)=r(B)=r(3B),故一 2A 和 3B 等价,应选(D) 取 A= ,r(A)=r(B)=2,但r(A+E)r(B+E)=2,A+E 和 B+E 不等价,故(A) 不成立 取A= ,r(A

    10、)=r(B)=1,但 r(A2)=1r(B2)=0,A 2 和 B2 不等价,故(B)不成立 由排除法,应选(D) 7 【正确答案】 D【试题解析】 利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断若Z1=maxX,Y) ,则 =2FX(z)fX(z)=2(1 一 ez)ez,所以(C)不正确 若 Z2=minX,Y,则 =21 一FX(z)fX(z)=2eze z=2e2z,(D) 正确8 【正确答案】 C【试题解析】 题中并没有正态分布条件,所以排除(A)、(D) 故选(C)二、填空题9 【正确答案】 一 2【试题解析】 将 x=0 代入 x=1yxsin2( t)dt 中,得 y=1再将所给方

    11、程两边对 x求导,得 将x=0,y=1 代入,得 y x=0=3,y“ x=0=一 210 【正确答案】 【试题解析】 用分部积分法11 【正确答案】 【试题解析】 此为“ ”型求导中要用到 y(0),y“(0) 等等,先求出备用由y3+(x+1)y+x2=0,有 3y 2y+(x+1)y+y+2x=0以 y(0)=0 代入,得 0+y(0)=0,有y(0)=0再求导, 6y(y) 2+3y2y“+y+(x+1)y“+y+2=0 以 y(0)=0,y(0)=0 代入,有 0+0+0+y“+0+2=0,y“(0)=一 212 【正确答案】 【试题解析】 将方程改写为 ,将 x 看成函数,此为 x

    12、 对 y 的一阶线性方程,代入通解公式,得 13 【正确答案】 B= ,其中 k,l 是任意常数【试题解析】 由题设 BA=O,两边转置,得(BA) T=ATBT=O,故 BT 的列向量,是方程组 ATX=0 的解,对 AT 作初等行变换,14 【正确答案】 0875【试题解析】 设事件 A、B 分别表示员工是基民、股民,依题意 P(A)=09,P(B)=0 8 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)一 1=07,因此 P(AB)=0875三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0,y 0),于是曲线 y=e 在点 P

    13、的切线斜率为 它经过点(0,0),所以一 y0=e,切线方程为 y=ex ()取水平条面积元素,16 【正确答案】 () 费马定理:设 f(x)在 x=x0 处可导,并且 f(x0)为 f(x)的极值,则必有 f(x0)=0 证明:设 f(x)在 x=x0 处可导,故存在 x=x0 的某邻域 U(x0),使得f(x)在 U(x0)内有定义又设 f(x0)为 f(x)的极值(不妨认为 f(x0)为 f(x)的极大值),故知又存在 x=x0 的一个邻域故 f-(x0)=f+(x0),所以 f(x0)=0()证毕( ) 极值的第一充分条件定理:设 f(x)在 x=x0 处连续,且在x=x0 的某去心

    14、邻域 (x0)内可导,若在 0 的左侧内 f(x)0(0),则 f(x)在 x=x0 处取得极大值(极小值)f(x 0)证明:只证括号外情形,括号内情形是类似的设 x (x0)且xx 0,由拉格朗日中值定理, f(x)一 f(x0)=f(1)(xx0)0,x 0x 0,若 x (x0)且 xx 0,则有 f(x)一 f(x0)=f(2)(x 一 x0)0,x 2x 0所以当 x (x0)但 xx0 时,有 f(x)一 f(x0)0,从而知 f(x0)为 f(x)的一个极大值举例说明定理的条件是充分而非必要的例:取 易见,存在 x=0 的去心邻域时,f(x)f(0),故 x=0 是 f(x)的极

    15、小值点但当 x0 时,无论取 (0)多么小,当 x0 时,f(x)的第一项趋于0,而第二项 cos 在一 1 与 1 之间振荡,所以 f(x)并不保持确定的符号,并不满足充分条件,f(0)仍可以是极值17 【正确答案】 复合关系复杂,又夹有隐函数微分法,用微分形式不变性解比较方便由 z=f(x,y),有 dz=f 1dx+f2dy (*)18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 设至第 t 个月,尚欠银行贷款 yt(万元) ,再经一个月,本息共计欠贷(1+r)y t(万元),还了 A(万元),尚欠 (1+r)y t 一 A=yt+1, 即 y t+1 一(1+r)y t=一A 此为一阶常系

    16、数线性差分方程,解之得通解这就是每月应还贷的数额20 【正确答案】 ()A Br(A)=r(B) 将增广矩阵 (AB)一起作初等行变换, 当 a3 且 b2 时,r(A)=r(B)=3,AB; 当 a=3 且 b=2 时,r(A)=r(B)=2,A B; 当 a=3,b2 或a3,b=2 时,r(A)r(B),A,B 不等价 ()(i) (ii) 1, 2, 3 和 1, 2, 3可以相互表出 ( 1, 2, 3)X=i,i=1 ,2,3, (1, 2, 3)Y=i,i=1 ,2,3 均有解 r( 1, 2, 3)=r(1, 2, 3, i),i=1 ,2,3,r( 1, 2, 3)=r(1,

    17、 2, 3, i),i=1,2,3 r( 1, 2, 3)=r(1, 2, 3)=r(1, 2, 3 1, 2, 3) a3 且 b2 时,r( 1, 2, 3)=r(1, 2, 3)=r(1, 2, 3 1, 2, 3)=3,(i)和(ii)等价; a=3 时,( 1, 2, 3)x=1(或 2)无解,(i),(ii)不等价; b=2 时,( 1, 2, 3)Y=2(或 3)无解,(i),(ii)不等价21 【正确答案】 当 =(3,6,一 3)T 时,令 =x11+x22+x33,解非齐次线性方程组 即 A 有特征值 1=3,对应的特征向量为 1=(1,1,1) TAx=0 有通解 k1(

    18、1,2,一 2)T+k2(2,1,2) T,知 A 有特征值 2=3=0,对应的特征向量为 2=(1,2,一 2)T, 3=(2,1,2) T因 1, 2, 3 线性无关,故任意 3 维向量 均可由 1, 2, 3 线性表出,设 =x11+x22+x33,从而有 A=A(x11+x22+x33)=x1A1=3x1 =3x1,得证 A 和 线性相关()解 当 =(3,6,一 3)T 时,令=x11+x22+x33,解非齐次线性方程组解得 (x 1,x 2,x 3)T=(3,2,一 1)T即 =3 1+22-3, A=A(3 1+22-3)=31=3322 【正确答案】 23 【正确答案】 ()EZ=E(X+Y)=EX+EY= -+xf(x)dx+-+yf(-y)dy -+xf(x)dx+-+(一 u)f(u)(一 du) =-+xf(x)dx-+uf(u)du=0, DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=DX+DY+ 又 DY=E(Y2)一(EY) 2, 其中 EY=一 EX,E(Y 2)=-+y2f(-y)dy=-+(一 u)2f(u)(一 du)=-+u2f(u)du=E(X2), 则DY=E(X2)一(一 EX)2=E(X2)一(EX) 2 一 DX=1,


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