1、考研数学（数学三）模拟试卷 391 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 xa 时， f(x)与 g(x)分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，设有以下命题：f(x)g(x)是 xa 的 m+n 阶无穷小若 nm，则 是 xa 的 nm 阶无穷小若 nm，则 f(x)+g(x)是 xa 的 n 阶无穷小则以上命题中正确的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）02 函数 y= 2x 2sin 2x 的不可导点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设函数 f(x， y)在点(0， 0)的某邻域内连续，并且 则( )（A）点(0
2、 ，0) 是函数 f(x，y)的极大值点（B）点 (0，0)是函数 f(x，y) 的极小值点（C）点 (0，0)不是函数 f(x，y) 的极值点（D）题设条件不足以判定点(0，0)是否为函数 f(x，y)的极值点4 设幂级数 在 x=1 处收敛，则此级数在 zx=2 处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不确定5 已知 ，则 A 与 B( )（A）等价、不相似、合同（B）不等价、不相似、不合同（C）等价、相似、不合同（D）等价、相似、合同6 二次型 f(x1，x 2，x 2)=（x 1+x2） 2+（2x 1+3x2+x3） 25（x 2+x2） 2 的规范形是( )（A）
3、y 22y 32（B） y12+y225y 32（C） y12+y22y 32（D）y 12+y227 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都在区间(1，1)上服从均匀分布，则( )8 设随机变量 X,Y 相互独立，且 X 服从二项分布 B(1， )，Y 服从参数为 1 的指数分布，则概率 PX+Y1等于( )（A）1+e 1（B） 1e 1（C） (1+e1 )（D） 1(1e 1 )二、填空题9 _10 位于曲线 y=x2ex( x0)下方，x 轴上方的无界图形的面积是_11 微分方程 y+y=2x 的通解为_12 二次积分 _13 设 ，若存在秩大于 1 的三阶矩阵 B 使得
4、BA=0，则An=_14 设随机变量 X 和 y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 D(X2+Y2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(sinx)=cosx+tanx+x， 且 f(0)=1，求 f(x)16 设 f(x)在2，4上连续，在 (2，4)内可导，且 f(2)= 证明：存在 (2，4) ，使 17 设平面区域 D=(x，y)x 2+y21，x+y0)求二重积分 18 证明幂级数 是微分方程 yy=1 的解，并由此求该幂级数的和函数18 设一企业生产某产品的需求量 Q 对价格 P 的弹性 =2p2，而市场对该产品的最大需求量为 1(万
5、件) ，该产品的生产成本为 Q+1，19 求需求函数；20 当 P+时需求量是否趋于稳定；21 设该产品的产量等于需求量，求该企业获得最大利润的需求量22 ()设 0 x+ ，证明存在 ，01，使 ； ( )求 关于 x 的函数关系的具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域23 Q 及 A；24 可逆线性变换 X=Cz(其中 z=（z 1，z 2，z 3） T)，C 是三阶可逆矩阵)，它将f(x1，x 2，x 3)化为规范形25 求由方程 2x2+2y2+z2+8xz 一 z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值26 证明：至少存在一个非零向量可
6、同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；27 设 ，求出可由两组向量同时表示的向量28 设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列元素 aij=ij(i，j=1 ，2，n)B 是 n 阶矩阵，B 的第 i 行第 j 列元素 bij=i2(i=1，2，n) 证明：A 相似于 B29 (X， Y)的概率分布，30 Cov(X，Y)30 设总体 X 的分布函数为 (X1，X 2，X 10)为来自总体X 的简单随机样本，其观察值为 1，1，3，1，0， 0，3，1，0，131 求总体 X 的分布律；32 求参数 的矩估计值；33 求参数 的极大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 391 答
7、案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 函数可能的不可导点为 x=，因为所以 y 在 处可导故 y 处处可导故正确答案为(A)3 【正确答案】 C【试题解析】 采用特殊值法设函数 f(x，y)在点(0，0)的某去心邻域中满足，即 f(x，y)=4x 2+y2x 4x 2y2y 4 得到 fx(0，0)=fy(0，0)=0，A=f xx(0， 0)=8，B=f xy(0，0)=0，C=f yy(0，0)=2 则点(0，0)是函数 f(x， y)的一个驻点，且满足 ACB 2=160，所以(0，0)不
8、是函数 f(x，y)的极值点故选(C) 4 【正确答案】 B【试题解析】 令 t=x1，则原级数化为 ，由题设知，当 t=11=2 时，由阿贝尔定理知，级数 ，在t2 时绝对收敛当 x=2 时，t=21=1 2，故原级数在 x=2 处绝对收敛故选(B)5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 r(A)=3，r(B)=3 ，所以 A 与 B 等价 A 与 B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与 B 相似，否则 A 与 B 不相似由于所以 A 的特征值为A=1 ，3， 1，B 的特征值为 B=2，1+ ，1 ，因此 A 与 B 不相似 由于A 与 B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为 2，
9、负惯性指数为 1，所以 A 与B 合同综合得，选择(A)6 【正确答案】 A7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 3【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 y=C 1cosx+C2sinx2x【试题解析】 特征方程为 2+1=0，所以 =i 所以该方程对应的齐次通解为C1cosx+C2sinx 设 y*=ax+b 为方程的一个特解，代入方程可得 a=2，b=0，所以y*=2x 因此方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx2x12 【正确答案】 4【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=0，则 r(
10、B)+r(A)3，又因为 r(B)1，所以 r(A)3(B)1显然 r(A)1，所以 r(A)=1，即矩阵 A 的各行对应成比例，于是14 【正确答案】 10三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 t=sinx， 积分并由 f(0)=1可得 f(x)= ( +arcsinx)+xarcsinx+116 【正确答案】 令 F(x)=(x1) 2f(x)， f(2)= (x 1)2f(x)dz f(2)=(a1) 2f(a)，a3，4即 F(2)=F(a)对 F(x)使用罗尔定理即可17 【正确答案】 如图所示，注意到 D 关于 y=x 对称，故有18 【正确答案
11、】 易求该幂级数的收敛域为 R显然有 yy=1 且满足条件y(0)=2，y(0)=0，解其微分方程序可得 y= （e x+ex ）+1 19 【正确答案】 由需求对价格的弹性公式20 【正确答案】 因 ，故需求量 Q 有稳定的趋势21 【正确答案】 该产品的利润函数故 P=1 是利润函数的极大值点，也是其最大值点故需求量为 Q=e1 22 【正确答案】 () 取 f(x)= ，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)一 f(x)=f()(x+1一 x)，即 其中 xx+1，=x+ ，0 1()23 【正确答案】 A 的特征值为 2，1，1，A=2当 =2 时，其 A*的特征正值为 1，故 =2 所对
12、应的特征向量（1，11） T设l 对应的特征向量为(a， b，c) ，即 a+bc=0，其解为 1=（1，1，0） T， 2=（1，0，1） T，对其正交化 1=（1，1，0） T， 2=（1，1，2） T，再单位化于是所求的正交矩阵24 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)在正交变换 X=Qy 的标准形为 2y12y 22y 32则 2y12 y 22y 32=z12 z 22z 32 (规范)25 【正确答案】 令 F(x，y)=2x 2+2y2+z2+8xz 一 z+8，且解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x2+2y2+z2+8xz 一 z+8=0联立解得两组解：26 【正确答
13、案】 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，l 1，l 2，使 k11+ k22+ l11+ l22=0 k11+ k22=l 11l 2227 【正确答案】 令 r= k11+ k22=l 11l 22A=（ 1， 2， 1， 2）=则 所以 r=k13k 2=k 1+0128 【正确答案】 由题设条件知B 各行元素成比例 r(B)=1，=0 是 B 的 n 一 1 重特征值，B 的非零特征值为 n= B 对应于 =0有 n 一 1 个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵 P，使得故 BA由相似关系的传递性，得证AAB，AB29 【正确答案】 如图所示，所以 P(X=1，Y=1)=PX=1，Y=1=PX=0，Y=1= ，记(X，Y) 的概率分布为所以所以(X，Y) 的概率分布30 【正确答案】 E(XY)=03，Cov(X，Y)=E(XY)E(X).E(Y)所以 Cov(X，Y)=03831 【正确答案】 总体 X 的分布律为32 【正确答案】 E(X)=12+3(1 3)=3 7， (1+1+3+1+3+1+1)=1.1令E(x)= 的矩计值 33 【正确答案】 似然函数 L=(2) 5.（13） 2.3， 1nL=31n+51n2+21n(13)
