1、考研数学（数学三）模拟试卷 382 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 f(x)在 z=0 处( )（A）不可导 （B） f(0)=ln23+1（C） F(0)= (ln3+1)（D）f(0)= (1n23+1)2 f(x)= 渐近线的条数为( )（A）4（B） 3（C） 2（D）13 设 f(x)连续，且满足 f(x)+2 f(t)dt=x2+ ，则关于 f(x)的极值问题有( ) （A）存在极小值 ln2（B）存在极大值 ln2（C）存在极小值（D）存在极小值一4 设 0，f(x)在(一 ，)内恒有 (x)0
2、，且f(x)x 2，记 I= (x)dx，则有( )（A）I=0（B） I0（C） I0（D）不能确定5 已知四维列向量 a1，a 2， a3 线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 a1，a 2，a 3 均正交，则向量组 1， 2， 3， 4 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A=(a1，a 2，a 3，a 4)为四阶方阵，且 a1，a 2，a 3，a 4 为非零向量组，设 AX=0 的一个基础解系为(1，0，一 4，0) T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A）a 1，a 2，a 3（B） a2，a 3，a 4（C） a1，a 3，a
3、4（D）a 1+a2，a 2+2a4，a 47 设 XN(1，4) ，YN(3，16)，PY=aX+b)=1，且 xY=一 1，则( )（A）a=2 ，b=5（B） a=一 2，b=一 5（C） a=一 2b=5（D）a=2 ，b=一 58 设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 1，X n)为总体的简单样本，S 2= (Xi 一 )2，则( )（A） N(0，1)（B） N(0，1)（C） t(n1)（D） t(n1)二、填空题9 设 f(x)为连续函数，且 f(1)=1，则 _10 xarctan =_11 差分方程 的通解为_12 设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 dt+ln
4、(1+y)=0 及 ey+z=e+lnz 确定为 z 的函数，则_13 设 A= ，且 ABAT=E+2114T，则 B=_14 设随机变量 X，y 相互独立，且都服从(一 1，1)上的均匀分布，令Z=maxX，Y)，则 P0一 1 d= (x2+y21)d，其中*1， 所以x 2+y21d=.16 【正确答案】 由分部积分，得于是 f(x)dx=2.由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)一 f(1)=f()(x一 1)，其中 (x，1)，f(x)=f()(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 f(x)dx= f()(x一 1)dx=一 2因为 f(x)在0，1上连续，所以 f
5、(z)在0，1上取到最小值 m 和最大值 M，由 M(x 一 1)f()(x1)m(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得一 f()(x一 1)dx ，即 m4M，由介值定理，存在 0，1，使得 f()=417 【正确答案】 投入费用函数为 C=p 1x+P2y，令 F(x，y，)=P 1x+P2y+(2xay一12)，由 ，解得 x=6( )，y=6( )a，故当 x=6( )，y=6( )a 时，在产量为 12 时，投入总费用最少18 【正确答案】 由 得收敛半径为 R=1 当x1 时，幂级数绝对收敛； 当x1 时，幂级数发散， 当 x=1 时，因为 为收敛的交错级数，故幂级数
6、的收敛域为 一 1，1令 S(x)=，则 S(x)=*1(x)， (x)= .因为 S1(0)=0，所以 S1(x)=S1(x)一 S1(0)= (x)dx=arctanx，故 S(x)=xarctanx(1x1)19 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，因为 V= r3，S=4r 2，所以 S= 由题设得 =一 kS(k0) ，即，其中 V0 为燃烧前的体积解得，再由条件 ，得，即 ，所以，令 V=0，得 t=6，即完全燃尽需要 6s20 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3，) ，矩阵方程化为A(1， 2， 3)=
7、(1， 2， 3)，即 当 a=1，b=2，c=2 时，矩阵方程有解 此时 方程组A1=1 的通解为 k (k 为任意常数）；方程组 A2=2 的通解为(为任意常数) ；方程组 A3=3 的通解为(t 为任意常数)， 于是 X= (其中k，t 为任意常数).21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2， 2=一 1， 3=一 1， A =2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=一 2， 3=一 2由 A*a=a 得 AA*a=Aa，即 Aa=2a，即 a=(1，1，一 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量.令 =(x1，x 2，x 3)t 为矩阵 A 的对应于特
8、征值 2=一 1， 3=一 1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 aT=0，即 x1+x2 一 x3=0，于是 2=一 1， 3=一 1 对应的线性无关的特征向量为.令 P=(a，a 2，a 3)= ，由p1 AP= ，得 A=P*1395()令 1=再令 1=则 f(x1，x 2，x 3)=.22 【正确答案】 (I)由 1= sin(x+y)dy 得 从而 k= ，故 f(x，y)=()fx(x)= f(x，y)dy当 x0 或 x 时，fx(x)=0；当 0x 时，fx(xz)=*1406sin(x+y)dy= (sinx+cosx)，于是 fx(x)= () 23 【正确答案】 (I)因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，所以 D(Y)= D(Xi)=n2，D(Z)= D(Xm+k)=n2()Cov(y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm+1+Xn)，Xm+1+Xm+n=Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)一(n 一 m)2，则.
