1、考研数学（数学三）模拟试卷 355 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )（A）e x 一 elanx（B）（C） ln(1+x)一 sinx（D）2 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 x0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x0，处可导，且3 下列正确的是( )
2、 （A）若函数可导，则其导函数一定为连续函数（B）若函数只有有限个第一类间断点，则该函数一定存在原函数（C）有第二类间断点的函数一定不存在原函数（D）两个间断函数之积不一定为间断函数4 设 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（A）|k|1（B） |k|1（C） |k|1（D）|k|25 设则 B 等于 ( )（A）P 1P2-1A（B） AP1P2-1（C） P1AP2-1（D）P 2-1AP16 设 A 为 mn 矩阵，对 n 元非齐次线性方程组 AX=b，下列结论正确的是( ) （A）若 AX=0 只有零解，则 AX=b 一定有唯一解（B）若 AX=0 有非
3、零解，则 AX=b 有无穷多个解（C）若 r(A)=m，则 AX=b 一定有唯一解（D）若 AX=b 有两个线性无关解，则 AX=0 一定有非零解7 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数8 设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（A）nXN(0，1)（B） nS2 2(n)（C）（D）二、填空题9 设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2，f(1)= ，f“(1)=1 则g“(2)=_10 设 f(
4、x)= ，则 0+f(x)dx=_11 设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y(x，0)=sinx，f yy“(x，y)=2x，则 f(x，y)=_12 微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 =e 的特解为 _13 设 则 B*A=_14 设 X，Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0， 1)的随机变量，则随机变量Z=max(X，y)的数学期望 E(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 g(x)二阶可导，且 f(x)=15 求常数 a 使得 f(x)在 x=0 处连续；16 求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性17 设 a 为实数
5、，问方程 ex=ax2 有几个实根?18 计算 ，其中 D 是由 x2+y2=4 与 x2+(y+1)2=1 围成的区域19 已知微分方程 作变换 u=x2+y2，v= ，w=lnz一(x+y) 确定函数 w=w(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于 w，u，v 的微分方程的形式20 设 un(x)满足 un(x)=un(x)+ (n=1，2，)，且 un(1)= 的和函数21 设 ()当 a，b 为何值时，不可由 1， 2， 3 线性表示；()当 a，b 为何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示，写出表达式21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的向量组，且A1=1+3
6、2，A 2=51 一 2，A 3=1 一 2+4322 求矩阵 A 的特征值；23 求可逆 Q，使得 Q-1AQ 为对角阵23 设随机变量 X 服从参数为 A 的指数分布，令 Y= 求：24 PX+Y=0；25 随机变量 Y 的分布函数；26 E(Y)27 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n 设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问 k1，k 2，k 3 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 最小?考研数学（数学三）模拟试卷 355 答案与解析一、选择题下列每题给出
7、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 e x 一 etanx=etanx(etanx 一 1)xtanx，因为所以2 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点， (A)，(B)不对；令所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导， (C)不对； 因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f(x)一 f(x0)=f()(x 一 x0)或者其中 介于 x0 与 x 之间，两边取极限得3 【正确答案】 D【试题
8、解析】 设 f(x)= 显然 f(0)=0，f(x)=因为 不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续，(A)、(C)不对；若第一类间断点存在原函数，显然其原函数在间断点处没有可导性，故存在第一类间断点的函数不存在原函数，(B)不对；令显然f(x)，g(x) 处处间断，但 f(x)g(x)处处连续，选(D) 4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零。f(x)=3(x 2 一 1)=0，得驻点x=1，且由图形可知 x=一 1 为极大点，x=1 为极小点,故 f(-1)=2+k0 k-2f(1)=一
9、 2+k0 k2，所以选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=0 只有零解的充分必要条件是 r(A)=n而方程组 AX=b有唯一解的充分必要条件是 r(A)= =n，(A)不对；AX=0 有非零解的充分必要条件是 r(A)，而方程组 AX=b 有无穷个解的充分必要条件是 r(A)= n，(B)不对；若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解，但不一定有唯一解，(C)不对；若 AX=b 有两个线性无关解，则 r(A)=r(A)n，从而 r(A)n 于是方程组 AX=0 有非零解，选(D)7 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=
10、pYy=Pmin(X，2)Y=1 一 Pmin(X，2)y =1 一PXy，2y=1 一 PXyP2 y当 y2 时， FY(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1-PXy=PXY=F X(y)，而 FX(x)= 所以当 0y2 时，F Y(y)=1e-y：当 y0 时F Y(y)=0，即 FY(y)= 显然 FY(y)在 y=2处间断，选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 当 0x1 时，f(x)= 当 x=1 时，f(x)=0；当 x1 时，f(x)=，所以 f(x)= 则11 【正确答案】 xy 2+ysin
11、x-x-sinx【试题解析】 由 fyy“(x， y)=2x 得 fy(x，y)=2xy+(x)，因为 fy(x，0)=sinx，所以(x)=sinx，即 fy(x，y)=2xy+sinx，再由 fy(x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)=xy2+ysinx+(x)，因为 f(x，1)=0，所以 (x)=-x-sinx，故 f(x，y)=xy 2+ysinx-x-sinx12 【正确答案】 y=e cscx-cotx【试题解析】 由 ysinx=ylny 得 =cscxdx 两边积分得 ln|lny|=ln|cscx-cotx|+lnC， 即 lny=C(cscx-cotx)，由 =e
12、 得C=1，故特解为 y=ecscx-cotx13 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(2)E13，所以|B|=|A|E 12(2)|E13|=一 3又因为 B*=|B|B-1，所以 B*=一 3E13-1E12-1(2)A-1=-3E13E12(-2)A-1，故 B*A=-3E13E12(一 2)=-3E1314 【正确答案】 【试题解析】 因为 X，Y 是两个相互独立且服从标准正态分布的随机变量，所以(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y)=f X(x)fY(y)= 于是 E(z)=Emax(X，Y)=-+dx-+max(x，y)f(x，y)dy三、解答题解答应写出文字说明、
13、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1 ，当f(x)在 x=0 处连续时 a=g(0)16 【正确答案】 )当 x0时，f(x)= 当 x=0 时，则 f(x)=因为所以 f(x)在 x=0 处连续17 【正确答案】 当 a=0 时，方程无解；当 a0时，令 (x)=x2ex 一 由 (x)=2xe-x 一 x2e-x=x(2 一 x)e-x=0 得 x=0 或 x=2当 x0 时，(x)0；当 0x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0，1)当 a0时，方程无解；2)a= 时，方程有两个根，分别位于(- ，0) 内及 x=2；3)当 时，方程
14、有三个根,分别位于(一，0)(0，2)，(2，+)内；4)当时，方程只有一个根，位于(-，0)内18 【正确答案】 由对称性得19 【正确答案】 w=lnz 一(x+y) 两边关于 x 求偏导得 w=lnz 一(x+y)两边关于 y 求偏导得代入原方程整理得20 【正确答案】 21 【正确答案】 1)当 a一6(a+2b)一 40时，因为 r(A) 所以 不可由 1， 2， 3 线性表示；2)当a一 6，a+2b-4=0 时。 ，可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 =21-2+O3；当 a=一 6 时，当 a=-6，b5 时，可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 =61+12
15、+23；当 a=-6，b=5 时，由 可由 1， 2， 3 线性表示，表达式为 =(2k+2)1+(k 一 1)2+k3，其中 k 为任意常数22 【正确答案】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆 因为 A1=1+32，A 2=51 一 2，A 3=1 一 2+43，所以(A 1，A 2，A 3)=(1+32，5 1 一 2， 1-2+43)，从而 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)即 AP=P 或者 P-1AP= =B，于是有AB由|EB|= =(+4)(-4)2=0 得 A 的特征值为 1=一4， 2=3=423 【正确答案】 因为 AB，所以
16、 B 的特征值为 1=-4， 2=3=4当 1=一 4 时，由(一 4EB)X=0 得 1= 当 2=3=4 时，由(4EB)X=0 得 2=令 P1=(1， 2， 3)= 因为 P-1AP=B，所以 P1-1p-1APP1=P1-1BP1= 或(PP 1)-1A(PP1)=取 Q=PP1=(一 1+2，5 1+32， 1+33)，则 Q-1AQ=24 【正确答案】 PX+Y=0一 PY=X=P| X|1 =1 一 PX1=1-(1一 e-)=e-25 【正确答案】 F Y(y)=PYy=PYy，0X1+PYy ，X1 =PXy，0X1+P(X一 y，X1当 y一 1 时，F Y(y)=PX-y=1一 PX-y=ey；当-1y0 时，F Y(y)=PX1=e -；当 0y1 时，F Y(y)=P0Xy+PX1=1 一 e-y+e-；当 y1时，F Y(y)=P0X1+PX1=1于是 FY(y)=26 【正确答案】 因为 fY(y)= 所以 E(Y)=-1yeydy+01ye-ydy=27 【正确答案】 因为 E(Xi)=(i=1，2，n)，所以 的无偏性要求是这就是约束条件，而目标函数为 由拉格朗日乘数法，作函数
