1、考研数学（数学三）模拟试卷 351 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 =a0，则( )（A）k=2，a=一 2（B） k=一 2，a= 一 2（C） k=2，a=2（D）k=-2a=22 设 f“(x)在 x=0 处连续，且 =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点3 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足，若 f(x，y)在 D
2、 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（A）最大值和最小值只能在边界上取到（B）最大值和最小值只能在区域内部取到（C）有最小值无最大值（D）有最大值无最小值4 设常数 a 0，正项级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）级数敛散性与 a 有关5 A= 其中 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等，下列命题正确的是( )（A）方程组 AX=0 只有零解（B）方程组 ATX=0 有非零解（C）方程组 ATAX=0 只有零解（D）方程组 AATX=0 只有零解6 对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得一 E，且|A|0，则 A 等于(
3、 )7 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0 ，1)，则 Z=F-1(Y)的分布函数( )（A）可导（B）连续但不一定可导且与 X 分布相同（C）只有一个间断点（D）有两个以上的间断点8 设 X1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量，X 是样本均值，记 S12=服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量为( )二、填空题9 10 设 z=z(x，y)由 (x2 一 z2，e z+2y)=0 确定，其中 连续可偏导，则 =_11 12 设 D 是由曲线 y= 与直线 y=x 围成，则=_13 设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=-1，
4、 2=1 为矩阵 A 的两个特征值，又|B -1|=则 =_14 设总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上二阶可导， |f“(x)|1(x0，1)f(0)=f(1)证明：对任意的x0，1，有|f(x)| 16 某商品进价为 30 元件，根据经验，当销售为 80 元件时日销售量为 100 件，日常调查表明，销售每下降 10，可使日销售量增加 80，该商家在一日内以 72元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利
5、润?17 计算二重积分 ，其中 D 是由 y=一 a+ (a0)及 y=-x 所围成的区域17 设 a1=2，a n-1= (n=1，2，)证明：18 存在；19 级数 收敛20 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程21 当常数 a 取何值时，方程组 无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时，求出其通解22 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 2x1x2 一 2x1x4+2ax2x3(a0)通过正交变换化为 标准形 2y12+2y22+by
6、32 (I)求常数 a，b； ( )求正交变换矩阵； ()当|X|=1时，求二次型的最大值22 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 PX=i= ，i=1，2，3 令U=max(X，Y)，V=min(X，Y) 23 求(U，V)的联合分布；24 求 PU=V；25 判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数26 设总体 X 的分布律为 PX=k=(1 一 p)k-1p(k=1， 2，)，其中 p 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 351 答案与解析一、选择题下列每题给出的
7、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故 k=2，a=一 2，选(A)2 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 f“(0)=0，由极限保号性，存在 0，当|x| 时， 当 x(，0)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0；当x(0，) 时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0，于是(0，f(0) 为 y=f(x)的拐点，选(C)3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x,y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y
8、0)=M0，此时 矛盾，即f(x，y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内取到，选(A) 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 =(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)0，得 r(A)=3由 r(A)=3 4，得方程组 AX=0 有非零解，不选(A)；由 r(AT)=r(A)=3，得方程组 ATX=0只有零解，不选(B)；由 r(A)=r(ATA)=34，得方程组 ATX=0 有非零解，不选(C) ；由 r(A)=r(AAT)=3，得方程组 AATX=0 只有零解，应选(D)6
9、 【正确答案】 A【试题解析】 由 E=E13A*E23(一 2)，得 A*=一 E131E23-1(一 2)=一 E13E23(2)，因为|A*|=|A|2=1 且 |A|0，所以|A|=1，于是 A*=A-1，故 A=(A*)1=一 E23-1(2)E131=-E23(一2)E13= 选(A)7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为 FY(y)= 则Z=F-1(Y)的分布函数为 Fz(z)=PZz=PF-1(Y)z=PYF(z)=FYF(z)，因为0F(z)1，所以 Fz(z)=F(z)，即 Z 与 X 分布相同，选(B)8 【正确答案】 B【试题解析
10、】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 (x 2 一 z2，e z+2y)=0 两边对 x 求偏导，得解得11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为|B -1|= 所以|B|=3 ，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3，由|A|=|B|= 123，得 3=一 3，因为 A 一 3E 的特征值为一 4，一 2，一 6，所以|A-3E|=一 48因为 B*+ =|B|B-1-4B-1=一 B-1所以|B *+ |=(一 1)3|B1|= 于是14 【正确答案】
11、 t(1)【试题解析】 由 X1+X2N(0，2)得 N(0，1)，由 X3+X4N(0，2)得且独立，由 t 分布的定义得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 对任意的 x0，1 ，由泰勒公式得两式相减得 0=f(x)+ f“(2)(1 一 x)2 一 f“(1)x2，于是|f(x)| |f“(2)|(1-x)2+|f“(1)|x2由 |f“(x)|1(x0，1)，得|f(x)| (1 一 x)2+x2，令 (x)=(1-x)2+x2，令 (x)=0，得 x= ，因为 (0)=(1)=1， ，所以 (x)=(1 一 x)2+x2 在0，1上的最大值为 1，故|
12、f(x)| 16 【正确答案】 当该商品的售价从 p1 降到 p2 时,对应的日销售量从 q1 上升为q2由题意有 即 q2=q1+3q1 商家以 72 元/ 件的价格出售该商品的日销售量为 设该商品一次性降价处理的价格设为 P 元/件则相应的日销售量为利润为 L=pq 一 30q= (p 一 30)(96一 p)，令 L= =0得 P=63即若一次性以 63 元/ 件出售其余商品时，商家获得最大利润17 【正确答案】 18 【正确答案】 因为所以ann=1单调减少，而 an0，即a nn=1是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，19 【正确答案】 由(1)得Sn=(a1 一 a2)+(a
13、2 一 a3)+(an 一 an+1)=2 一 an+120 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 即B 的轨迹方程为 当 k=1时，B 的轨迹方程为21 【正确答案】 若 a=1，则 原方程组的通解为 X=k(一1，0，1) T+(2，一 1，0) T(k 为任意常数)若 a1，则当 a=2 时，方程组无解；当 a=一 2 时原方程组的通解为 X=k(1，1，1)T+(2，2，0)(k 为任意常数)22 【正确答案】 则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX因为二次型经过正交变换化为 2y12+2y22+by32 所以矩阵 A 的特征值为1=2=2， 3=b由特征值的
14、件质得 解得a=一 1，b=一 1() 当 1=2=2 时，由(2E 一 A)X=0，得 1=；当 3=一 1 时，由(一 EA)X=0，得 3=()因为 Q 为正交矩阵所以|X|=1 时，|Y|=1，当|Y|=1 时，二次型的最大值为 223 【正确答案】 U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 PUV=0，PU=1，V=1=PX=1，Y=1=Px=1PY=1= ，PU=2 ，V=1=PX=2，Y=1+PX=1，Y=2=2PX=2)PY=1)= ，PU=2，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= ， PU=3，V=1=PX=3 ，Y=1)+PX=1 ，Y=3=2PX=3PY=1= ， PU=3，V=2=PX=3 ，Y=2+PX=2，Y=3=2PX=3PY=2)= ，PU=3，V=3=PX=3 ，Y=3=PX=3P(Y=3= 于是(U，V) 的联合分布律为 24 【正确答案】 Pu=V=PU=1，V=1+PU=2，V=2+PU=3，V=3)=25 【正确答案】 PU=1)= ,PV=3= PU=1，V=3=0，因为 PU=1，V=3)PU=1PV=3)，所以 U，V 不独立26 【正确答案】
