1、考研数学（数学三）模拟试卷 335 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x) 为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(-a)=1- 0a(x)dx（B） F(-a)=1/2-0a(x)dx（C） F(-a)=F(a)（D）F(-a)=2F(a)-17 当 x0 时，曲线 y=xsin 1/x( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线8 若 n 阶非奇异矩阵 A 的各行元
2、素之和为 2，则 A-1+A2 必有一个特征值为( )（A） 8 （B） 2 （C） （D）二、填空题9 10 11 12 设 z=xyf(y/x)，f(u)可导，则 xzx+yzy=_13 设 ，其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_14 从 l，2，n 中任取一数 X，再从 1，2，X 中任取一数 y，则 E(y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 设 f(，)具有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)=19 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 证明至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1-1)f()20 设 a(
3、3，1，2)，b(1，2，1)，求(1)ab 及 ab；(2)(2a)3b 及 a2b；(3)a 与 b 的夹角的余弦21 如果两曲面称为是正交的，它们在交线上的任一点处的两个法向量互相垂直证明：曲面 z2x 2 y2 与曲面 x2y 2z 21 正交22 求下列微分方程的通解: (1)sinxsin2ydx2cosxcos2ydy0： (2)(x 2y)dx(x sin 2y)dy023 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(1， 1，1) T， 2=(1， 2， 1)T (I)求 A 的属于特征值 3 的特征向量；()求矩
4、阵 A考研数学（数学三）模拟试卷 335 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 因为随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，7 【正确答案】 A【试题解析】 只有间断点 x=0，有水平渐近线 y=1，应选(A)8 【正确答案】 A【试题解析】 由于非奇异矩阵各行元素之和为 2，所以 A(1，1，1)T=2(1，I ，1) T，=2 是 A 的
5、特征值由于 A 可逆， 1 是 A-1 的特征值，且 22是 A2 的特征值，故 A-1+A2 有一特征值为 12+2 2=92【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 -112 【正确答案】 【试题解析】 利用复合函数求偏导的方法，得【知识模块】 复合函数求偏导数13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 y 的所有可能取值为 l，2，n，从而由全概率公式可得 y 的概率分布为【知识模块】 随机变量的数字特征三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正
6、确答案】 18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 令 F(x)=xe1-x 于是 F(1)=f(1)，由积分中值定理得，存在满足 0从而 F(x)在c，1上满足罗尔定理条件，故存存 (c，1) (0，1)，使 F()=0，e 1-f()-(1-1)f()=0而 e1-0，故 f()-(1-)f()=0，即 f()=(1- -1)f()【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 综合21 【正确答案】 设 Mo(xo，y o，z o)为两曲线交线上任一点，则曲面 zx 2y 2 在Mo 点处的法向量为 n1(2x o，2y o，2z o) 曲面 x2y 2z 21 在 Mo 点处的法向量，n 2(2x o，2y o，2z o) 于是有 n 1n2(2x o，2y o，2z o)?(2xo，2y o，2z o)4x 2o4y o24z o24(z o2x o2y o2) 又因为点 Mo 在曲面 z2x 2y 2 上，故有z2ox 2oy 2o 得 n1n20，两曲面正交【知识模块】 综合22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 (I)由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3(x 1，x 2，x 3)T 则 1T3=0 且2T3=0，
