1、考研数学（数学一）模拟试卷 448 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，f(a)0，f(b)0，则方程 f(x)在(a ，b)内( )（A）没有实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个不相等的实根（D）至少有两个不相等实根2 直线 L1： ( )（A）垂直不相交（B）垂直相交（C）相交不垂直（D）既不垂直也不相交3 级数 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）可能收敛4 已知曲面 S：x 2+2y2+3z2=1，y0，z0；区域 D： x2+2y=1，x0，则( )（A） xd
2、xdy（B） ydxdy（C） ydxdy（D） xdxdy5 设 P，Q 都是 n 阶矩阵，且(PQ) 2=E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有( )（A）(QP) 2=E（B） P2Q2=E（C） Q2P2=E（D）以上均不对6 设 A 是三阶非零矩阵，满足 A2=0，则线性非齐次方程 AX=b 的线性无关的解向量个数是( ) （A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机变量 X，Y 相互独立，且分别服从参数为 和 的指数分布(，)(0，0)，则 P(XY)等于( ) （A）（B）（C）（D）8 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且 P(X)（A）小于
3、 1（B）等于 1（C）大于 1（D）不能确定二、填空题9 过 z 轴及点 M(3，2，5)的平面方程是_10 设二重积分 I= (x2+y2)dxdy，其中 D 是由曲线 x2+y2=2x 所围第一象限的平面区域，则 I=_11 设(ab).c=1，则(a+b)(b+c).(c+a)=_12 I= xds=_，其中 L 为x+y=113 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 1，且 1， 2， 3 是它的三个解向量若 1+2=1，2，一 4T， 2+3=0，一 2，2 T， 3+1=1，0，一 1T，则该非齐次线性方程组的通解为_14 设 X1，X 2，X n 是正态总体 XN( ， 2)
4、的简单随机样本，样本方差 S2=(Xi )2，则 D(S2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在0，1上连续且非负，证明：在 (0，1) 内存在一点 ，使 f()= f(x)dx16 已知函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b) 内 f(x)存在设连接 A(a，f(a)，B(b，f(b)两点的直线交曲线 y=f(x)于点 C(c，f(c) ，且 acb试证：在区间(a， b)内至少存在一点 ，使 f()=017 设曲线 y=y(x)，x0，t，y(x)0若 y=y(x)在0，t上的曲边梯形绕 x 轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为( ，0)， =
5、4t5，求 y=y(x)18 (1)求级数 的和函数 S(x)；(2) 将 S(x)展开为 x 一 3 的幂级数19 求解微分方程 y一20 计算 n(n2)阶行列式21 设 A 为 n 阶实对称矩阵，AB+B TA 是正定矩阵，证明 A 是可逆矩阵22 设随机变量 X 在0， 上服从均匀分布，求(1)Y=sinX 的概率密度；(2)E(Y)和 D(Y)23 设二维随机变量(X，Y)服从均匀分布，其联合概率密度函数为求 Z=XY 的概率密度函数考研数学（数学一）模拟试卷 448 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(a
6、)= 0，故在 a 的某邻域内存在点 x1，ax 1 ，使 f(x1)0同理由 f(b)0 知，必存在点x2， x 2b ，使 f(x2)0由连续函数性质(介值定理)知，存在 c(x1，x 2)(a， b)，使 f(c)=0在闭区间a，c和c ，b 上对 f(x)分别使用罗尔定理知，至少存在一点 1(a，c)，使得 f(1)=0，至少存在一点 2(c，b)，使得 f(2)=0，故方程 f(x)=0 在 (a，b)内至少有两个不相等的实根仅(D)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 先判别 L1 与 L2 是否垂直，再判别它们是否相交先求出 L1 的方向向量 令 1=(一 1，2，一 1)和 L
7、2 的方向向量 2=(一 4，一 1，2)因 1.2=0，故 L1L2排除(C)、(D)再考虑它们是否相交为此令 =t，则 x=64t， y=t， z=3+2t，代入 L1 的方程中得 t=3，即得其交点为(一 6，一 3，9)仅(B)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 仅(A) 入选因为 满足 而发散，由比较判别法知其发散，故原级数不绝对收敛由莱布尼茨定理知，原级数收敛，故其条件收敛4 【正确答案】 C【试题解析】 因 S 关于平面 yOz 对称，故 xdS=0又 D 关于 x 轴对称，而 y 又是关于 y 为奇函数，故 ydxdy=0因而 ydxdy=0仅(C)入选5 【正确答案】 A【
8、试题解析】 仅(A) 入选由 (PQ)2=E 得 PQPQ=E，则 QPQP=E=(QP)(QP)(QP)2=E6 【正确答案】 C【试题解析】 利用下述结论求之 设 AX=0 的基础解系为 1， 2， nr ；为 AX=b 的一特解，则 AX=b 共有 nr+1 个线性无关的解向量，且， 1， 2， nr 就是 AX=b 的 n 一 r+1 个线性无关的解 先求 r(A)因A2=A.A=O，故 r(A)+r(A)=2r(A)3， 即 r(A)32， 亦即 r(A)1 又 AO， r(A)1， 故 r(A)=1， 从而 nr+1=3r(A)+1=31+1=3， 即 AX=b 有 3 个线性无关
9、的解向量仅(C) 入选7 【正确答案】 A【试题解析】 因 X，Y 的概率密度函数分别为 而 X，Y独立，故(X，Y) 的概率密度函数为8 【正确答案】 A【试题解析】 因 P(X)+P(X)=1P(X=)=1，又已知 P(X) P(X)，因而 P(X)12而 P(X)=12，根据分布函数单调不减的性质应有，从而 的值小于 1仅(A) 入选二、填空题9 【正确答案】 2x+3y=0【试题解析】 设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 由题设知，平面必过点(0，0， 0)，由此知 D=0 又平面法向量，n=(A，B，C)应与 z 轴上的单位向量k=(0，0，1) 垂直，从而 n.k=C=0而
10、点 M(3，一 2，5) 在平面上，由 Ax+By=0，有 3A 一 2B=0，即 B= A将其代入 Ax+By=0，得到 Ax+ Ay=0，故所求平面方程为 2x+3y=0 10 【正确答案】 【试题解析】 D 的图形如下图中的阴影部分所示在极坐标系下 D 满足02，0r2cos，且 x2+y2=(rcos)2+(rsin)2=r2，故11 【正确答案】 2【试题解析】 (a+b)(b+c).(c+a) =(a+b)b+(a+b)c.(c+a)=ab+bb+ac+bc.(c+a)=(ab+bc+ac).(c+a)=(ab).c+(bc).c+(ac).c+(ab).a+(bc).a+(ac)
11、.a=(ab).c+0+0+0+(bc).a+0=(ab).c+(ab).c=2(ab).c=212 【正确答案】 【试题解析】 由 yds(因积分曲线 L 关于 y=x 对称)，得到13 【正确答案】 c 11，4，一 6T+c2一 1，2，3 T+1，0，一 2T【试题解析】 设 AX=b 为三元非齐次线性方程组由题设 n=3，r(A)=1 ，因而Ax=0 的一个基础解系含 n 一 r(A)=31=2 个解向量 因 1+2 一( 2+3)=1，4，一 6T=1 一 3， 2+3 一 (3+1)=一 1，一 2，3 T=2 一 1， 而 1 一 3， 2 一 1均为 Ax=0 的解向量，且不
12、成比例，故线性无关，可视为 AX=0 的一个基础解系又因 ( 1+2)+(2+3)+(3+1)=2(1+2+3)=2，0，一 3T， 即 1+2+3=1，0，一 32 T， 又 1+2+2+3=1，0，一 2T， 由式一式得到 2=0，0，12 T，此为 AX=b 的特解，从而所求通解为 c 1(1 一 3)+c2(2一 1)+2=c11，4，一 6T+c2一 1，2，3 T+1，0，一 2T14 【正确答案】 【试题解析】 因 D =2(n 一 1)，故 D(S2)=2(n 一 1)， 即 D(S2)=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设知，显然 F(
13、x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 F(0)=0，F(1)=0 ，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的诸条件由该定理知，存在一点(0， 1)，使 F()=0，即 亦即 注意 若按照一般辅助函数 F(x)的构造方法，自然想到令 F(x)=xf(x)一 f(t)dt，但此时 F(0)= f(t)dt0，F(1)=f(1)一f(t)dt=f(1)0，得不到 F(x)在0，1区间端点处严格异号，因而不能直接使用罗尔定理【试题解析】 将待证等式改写为 xf(x)= f(t)dt，即 xf(x)一 f(t)dt=0亦即 xf(x)+f(t)dt=x f(t)dt=0，因而构造辅助函数 F(x)=
14、x f(t)dt下只需证明 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件即可16 【正确答案】 直线 AB 的方程是 y= (x 一 a)+f(a)引进辅助函数 F(x)=f(x)一 (x 一 a)+f(a)它的几何意义是连接 A、B 两点的直线与曲线 f(x)之差由题设知在 A 点、B 点及 C 点处这两条线相交，自然有 F(a)=F(b)=F(c)=0，也就是说在这三点处两函数的函数值相同由已知条件 F(a)=F(c)=F(b)=0知，函数 F(x)在区间a，c 和c，b上满足罗尔定理因此，在区间(a ，c)内至少存在一点 1，使得 F(1)=0；在区间(c ，b)内至少存在一点 2，使得 F(2
15、)=0因a 1 c 2b，且 F(x)=f(x)在(a ，b)内存在，故 F(x)在区间 1， 2上满足罗尔定理条件于是，在区间( 1， 2)内至少存在一点 ，显然 也在区间(a，b)内，使得 F()=f()=0【试题解析】 利用曲线 f(x)与直线 AB 的方程之差作一辅助函数 F(x)，由题设知这两条线有三个交点，因而 F(x)有三个零点对 F(x)两次使用罗尔定理，在此基础上再对 F(x)使用一次罗尔定理，则存在 (a， b)，使 F()=017 【正确答案】 如下图取旋转体体积微元：dV=y2(x)dx则旋转体形心坐标( ，0)应满足由题意得到 y2(x)dx，两边对 t 求导得到ty
16、2(t)= ty2(t)求导再化简得到 y2(t)+2ty(t)y(t)= 5y2(t)即2t =3y 分离变量解之即得 y=Ct32 ， 即 y=Cx 32 (C 为任意常数)【试题解析】 由形心坐标的积分表示得到 y(x)满足的微分方程，解之即得所求曲线方程 y=y(x)18 【正确答案】 (1)设 S(x)= ，则故 S(x)=(一x+)(2)(一x+)19 【正确答案】 原方程可化为 x2y一 xy+y=2x，此谓欧拉方程作代换 x=et，则t=lnx，代入方程得到 +(一 11) +y=2et，即 +y=2et 事实上，将其代入原方程即得方程下求解方程 其特征方程为 r2 一 2r+
17、1=(r 一 1)2=0， r 1=r2=1，故其齐次方程的通解为 Y=(C1+C2t)et=(C1+C2lnx)x设非齐次方程的特解为 y*=At2et代入得 A=1，故 y*=t2et=x(lnx)2于是原方程的通解为 y=Y+y*=(C1+C2lnx)x+x(lnx)220 【正确答案】 =a1a2a3an将各列都加到第 1 列得到最后按第 1 列展开得到【试题解析】 先提取第 i 列的公因子 ai(i=1，2，n) ，然后再将各列加到第 1列，最后按第 1 列展开21 【正确答案】 由正定矩阵的定义知，对任意 X0，有 X T(AB+BTA)X=XTABX+XTBTAX+XTATBX+
18、(BX)TAX =(AX)T(BX)+(BX)T(AX)0 因而对任意X0有 AX0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 r(A)=n，即 A 为可逆矩阵【试题解析】 由题设知，对任意 X0，有 XT(AB+BTA)X0由此可推得对任意X0，有 AX0，从而 A 可逆22 【正确答案】 (1)由题设知 X 的概率密度为 先求 y的分布函数：F Y(y)=P(Yy)=P(sinXy)当 y0时，F Y(y)=P( )=0；当 0y1 时(见下图) ， FY(y)=P(0Xarcsiny)一 P(arcsinyX)当 y1 时，F Y(y)=P(Yy)=P(sinXy)=1综上得到 FY(y
19、) = 则 Y 的概率密度为23 【正确答案】 Z=XY 的分布函数为 F z(z)=P(Zz)=P(XYz)= f(x，y)dxdy因随着 z 的取值范围不同，区域 xyz与 f(x，y)的取值非零的区域即正方形区域 0x2，0y2 相交的情况不一样，需分别讨论因 f(x，y)取非零值的定义域的边界点为(0，0) ，(0，2) ，(2，2)，(2，0)，相应地， z=xy 的可能取值为z=00=0，z=02=2，z=22=0，z=20=2因而 z 应分下述情况分别求出分布函数：(1)z2，(2)一 2x0，(3)0z 2，(4)z2(1)当 z2 时，区域 xyz( 这时当 x=0 时，一
20、y一 2，即 y2)与正方形 0x2，0y2 没有公共部分(参见下图) ，所以 Fz(z)= 0dxdy=0(2) 当一 2z0 时(这时当 x=0 时，则一 2xy=一 y0，即 0y2)，区域 xyz与正方形0x2，0y2 的公共部分如下图阴影区域所示，则(3)当 0z2 时，区域 x 一 yz与正方形区域 0x2，0y2 的公共部分如下图阴影部分所示，故(4)当 z2时，x 一y=z2，当 x=0 时，y= 2，当 y=0 时，x2 ，因而区域 xyz 在 xy=z 的上方，它包含整个正方形区域(参见下图)，故 Fz(z)= dy=1综上得到 故【试题解析】 求二维随机变量(X，Y)函数(尤其是其线性函数)的分布函数常利用其定义求之求时需对 XYz 中 z 的不同取值情况分别确定 f(x，y)不为 0 的区域与(x，y)xyz的交集在此交集上进行二重积分，求出分布函数，再求导，即可求得概率密度函数
