1、考研数学（数学一）模拟试卷 410 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 设函数 z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且（A）f x(0，0)不存在（B） fx(0， 0)存在且不为零（C） f(x，y)在(0，0)点取极大值（D）f(x，y)在(0，0)点取极小值4 设有命题 以上四个命题中正确的个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，若 P=(1，2 3，一 2)，则 P-1AP=( )6 设 1， 2， 3， 4， 5 都是四
2、维列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，非齐次线性方程组Ax=5，有通解 k+=k(1，一 1，2，0) T+(2，1，0，1) T，则下列关系式中不正确的是( )（A）2 1+2+4 一 5=0（B） 5 一 4 一 2331=0（C） 1 一 2+23 一 5=0（D） 5 一 4+43 一 32=07 设随机变量 x 的分布函数为 F(x)，则可以作出分布函数 ( )（A）F(ax)（B） F(x2+1)（C） F(x3 一 1)（D）F(|x|)8 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X，S 2 分别为容量是 n 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n 一 1 的 t
3、分布的随机变量 ( )二、填空题9 10 11 12 曲线 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体侧面积为_。13 设 A，B 为三阶相似矩阵，且|2B+A|=0， 1=1， 2=一 1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|=_。14 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 D(X)=4D(Y)，则随机变量 2X+3Y 与 2X 一3Y 的相关系数为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上二阶可导，且 f(A)=0f(B)0，f+(A)0。证明：()在(a，b) 内至少存在一点 ，使得 f()=0；()在(a，b) 内至少
4、存在一点 ，使得 f“()0。17 证明：在右半平面 x0 上，曲线积分 与路径无关，并求一个二元函数 u=u(x，y)，使得18 求幂级数 的收敛域及和函数。19 一根输水管道的最高点在水面下方 5m 深处，管道截面为圆形，直径为 80cm，有一个与管道截面大小一样的铅直闸门将管道口挡住，求闸门上所受的水的静压力。20 设 A 是三阶实对称矩阵，|A|=一 12，A 的三个特征值之和为 1，且 =(1，0，一2)T 是方程组 (A*一 4E)x=0 的一个解向量。 ( )求矩阵 A； ()求方程组(A *+6E)x=0 的通解。21 设 f(x1，x 2，x 3)=x2Ax=x12+ax22
5、+x32+4x1x2+4x1x3+2bx2x3，=(1，1，1) T 是 A 的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当 x 满足 x2x=x12+x22+x32=1 时，f(x1，x 2，x 3)的最大值。22 设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2)，y 在区间一 ，上服从均匀分布，求随机变量 Z=X+Y 的概率分布。 (计算结果用标准正态分布 表示，其中23 设总体 XU(1，) ，参数 1 未知，X 1，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。 ( )求 的矩估计量和极大似然估计量； ()求上述两个估计量的数学期望。考研数学（数学一）模拟试卷 410 答案与
6、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组有通解 k+ 可知 5=(1， 2， 3， 4)(k+)=(k+2)1+(1 一 k)2+2k3+4。即 5 一(k+2) 1 一(1 一 k)2 一 2k3 一 4=0，其中后是任意常数，即 1， 2， 3， 4， 5 线性相关，且在此线性组合中必须含 4 和 5，选项 C 没有 4，故 C 不正确。当 k=0
7、时选项 A 成立；k=1 时选项 B 成立；k=一 2 时选项 D 成立。故选 C。7 【正确答案】 C【试题解析】 函数 F(x)可以作为分布函数的条件是： F(x)单调不减；F(x)右连续。A 选项 F(x)，当 a0 时，三个条件都不满足，故不是分布函数；B 选项 F(x2+1)不满足条件 故不是分布函数；C 选项 F(x3 一 1)，同时满足三个条件，因此是分布函数；D 选项 F(|x|)不满足条件 故不是分布函数。故选 C。8 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 1 一 e-1【试题解析】 积分区域如右图11 【正确答案】 【试
8、题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 18【试题解析】 14 【正确答案】 0.28【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 建立直角坐标系，以闸门中心为原点，上方为 y 轴正方向，如图所示，将 y 轴上的区间一 04，04划分为y，y+dy，此区间对应的面积微元为 dA=2xdy，从而此面积微元上受到的水的静压力为 dp=g(54 一 y)2xdy，其中x 与 y 由圆的方程 x2+y2=04 2 决定，且 x0。因此有20 【正确答案】 ()=
9、(1，0，一 2)T 是方程组(A *一 4E)x=0 的一个解向量，(A *一4E)=0，即 A*=4，又 A*A=AA*=|A|E=一 12E，故 AA*=4A= =一3a所以 =(1，0，一 2)T 是 A 的属于特征值 3=一 3 的特征向量。设 A 的另外两个特征值为 1， 2，则 1+2+3=1， 123=|A|=一 12，解得 1=2=2，设其对应的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则它与 =(1，0，一 2)T 正交，即 x1 一 2x3=0，其基础解系为 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T，同解方程组为 x1 一2x3=0，通解为 k1(0，1，0)
10、T+k2(2，0，1) T，其中 k1，k 2 为任意常数。21 【正确答案】 由已知可得二次型矩阵为 ，设 =(1，1，1) T 所对应的特征值为 ，则由特征值与特征向量的定义有 ，解得a=1，b=2，=5。故得矩阵 A 的特征值为 1=5， 2=3=一 1，对应的特征向量分别为 1=(1，1，1) T， 2=(0，一1，1) T， 3=(一 2，1，1) T，单位化之后构造正交矩阵，得 令x=Qy，则 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=5y12y22y32。因为 xTx=(Qy)TQy=yT(QTQ)y=yTy=y12y22y32=1，所以 f(x1，x 2，x 3)=5y12y22y32=6y12 一 1，注意到 y12=1一(y 22+y32)1，故 f(x1，x 2，x 3)5，22 【正确答案】 X 和 Y 的概率密度分别为由于 X 和 Y相互独立，根据卷积公式，可得 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)=-+X(zy)fY(y)dy=-fX(zY)fY(y)dy23 【正确答案】
