1、考研数学（数学一）模拟试卷 399 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 xx 0 处可导，且 f(x0)0，则存在 0，使得( )。（A）f(x)在区间(x 0，x 0)内单调增加（B） f(x)f(x 0)在区间(x 0，x 0) 内成立，但在区间(x 0，x 0)内不成立（C） f(x)f(x 0)在区间(x 0，x 0)内成立，但在区间(x 0，x 0)内不成立（D）f(x)f(x 0)当 0xx 0 时成立2 下列结论中不正确的是( )。（A）zf(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则它在点(x 0，y 0)处必连续（B）
2、zf(x ，y)在点(x 0，y 0)处可微，则它在点(x 0，y 0)处沿任意方向的方向导数都存在（C） zf(x ，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx，f y 在点(x 0，y 0)处必连续（D）zf(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则它在点(x 0，y 0)处的偏导数必存在3 微分方程(x 21)dy (2xy cosx)dx 0 满足初始条件 y(0)1 的特解是( )。4 设 S 是平面 xyz4 被圆柱面 x2y 21 截出的有限部分，则曲面积分( ) 。（A）0（B）（C）（D）5 设 A 是 54 矩阵，B 是四阶矩阵，满足 2ABA，B *是 B 的伴随矩阵，若
3、 A 的列向量线性无关，则秩 r(B*)( ) 。（A）0（B） 1（C） 3（D）46 下列二次型中，正定的二次型是( )。（A）f 1(x1， x2，x 3)x 125x 22x 324x 1x26x 1x38x 2x3（B） f2(x1，x 2，x 3)2x 12x 322x 1x22x 1x32x 2x3（C） f3(x1，x 2，x 3)x 123x 222x 322x 1x24x 2x3（D）f 4(x1， x2，x 3)x 123x 227x 322x 1x24x 1x37 设随机变量 X，Y 独立，且 E(X)，E(Y) 和 D(X)，D(Y)存在，则下列等式中不成立的是( )
4、 ，下列表示式中的 a，b 均为常数。（A）E(aXbY)aE(X)bE(Y)（B） E(aXbY)abE(X)E(Y)（C） D(aX bY)a 2D(X)b 2D(Y)（D）D(aXbY)a 2D(X)b 2D(Y)8 设随机变量列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n 充分大时，X 1，X 2，X n，依概率收敛于其共同的数学期望，只要X1，X 2，X n，( )。（A）服从同一离散型分布（B）有相同的数学期望（C）服从同一连续型分布（D）有相同的泊松分布二、填空题9 设 ，f 具有二阶连续偏导数，则 。10 幂级数 的收敛区域是。11 微分方程 yy“(y) 2y
5、 4 满足 y(0)1，y(0)1 的特解为y。12 设常数 a0，L 为摆线 一拱，0t2，则I Lyds。13 已知三阶矩阵 A 的特征值 1，2，3，则(3A) * 1 的最大特征值是。14 已知(X，Y)的联合分布律为： 则 X，Y 的相关系数XY。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1。证明15 存在 c(0，1) ，使得 f(c) ；16 存在 (0，1)，使得 。17 设 。18 将 展为 x1 的幂级数，并指出其收敛域。19 证明(ab)(bc)(ca)2a(bc)。20 设 ABCD
6、A 为一矩形回路，其中 AA(1，1)，B B(1，1) ，CC(，1)，DD(，1)，求 。21 已知 n 维向量 1， 2， s 线性无关，如果 n 维向量 不能由1， 2， s 线性表出，而 可由 1， 2， s 线性表出，证明1， 1 2， 2 3， s1 s， 线性无关。21 设 A 是 n 阶方阵，AE 可逆，且 f(A) (EA)(EA) 1 。 证明：22 Ef(A)(EA) 2E；23 ff(A)A 。23 设随机变量(，) 的概率密度为试求24 (，)的分布函数；25 。26 食用加碘盐对人的身体有利，但盐中含碘量过多，则会对身体有害，国家有关部门规定：每公斤食用盐内含碘量
7、不得超过 20 mg，现对某厂生产的食盐进行抽查，随机地抽出 16 包(每包 1 kg)，测量每包含碘量的平均值为 24 mg，样本标准差S26mg，设每包含碘量服从正态分布 N(， 2)。问该厂生产的加碘盐的含碘量是否合格?(005)，并求 的置信度为 95%的置信区间。 参考数据： t 005 (15)17531， t 005 (16)1 7459， t 0025 (15)2 1315， t 0025 (16)21199。考研数学（数学一）模拟试卷 399 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 解 根据导数的定义，有 从而
8、由极限的保号性(不等式性质) 知，存在 0，使得当 0xx 0 时，有这表明：当 x0xx 0 时，f(x)f(x 0)，而当 x0xx 0时，f(x)f(x 0)，仅(B)入选。 注意 条件“f(x)在点 xx 0 处可导，且 f(x0)0”不足以保证 f(x)在点 xx 0 的某一邻域内单调增加，如果进一步假设导函数 f(x)在点xx 0 处连续，就可保证 f(x)在点 xx 0 的某一邻域内单调增加了。虽然 f(x)1，但 f(x)在任何区间(0，)内无穷次地改变符号，所以 f(x)不可能在任何区间(，) 内单调增加，因而(A)中结论是错误的。2 【正确答案】 C【试题解析】 解 因 不
9、存在，故 fx(x，y)在点 (0，0)处不连续，所以(C)不正确，仅(C)入选。3 【正确答案】 A【试题解析】 解一 原方程可化为 x 2dy2xydx dydsinxd(x 2y)d(y sinx)d(x 2yysinx) 0，两边积分得到 x 2yysinxy(x 21)sinx c 。由 y(0)1 得10c ，即 c 1，故 ，仅 (A)入选。解二 原方程可化为，直接套用公式，得到由 y x0 1 得 c1，故满足初始条件的特解为 ，仅(A)入选。4 【正确答案】 A【试题解析】 解 由题设条件知 D：x 2y 21，且 z(x，y)4xy，f(x，y，z)y，故 zx1，z y1
10、，则因 D 关于 x 轴对称，而被积函数 y 关于 y 为奇函数，故 仅(A)入选。5 【正确答案】 D【试题解析】 解一 由 2ABA 得 A(2BE)0，从而 r(A) (2BE)4，又因 A是 54 矩阵，A 的列向量线性无关，由此知秩 r(A)4，从而秩 r(2BE)0，即2BE0。 于是 B E，r(B) r( E)r(E) 4，故 r(B*)4，仅(D) 入选。 解二 因 A 为列满秩，故秩(A)4，则由 2ABA 得到 r(2AB)r(A) 4，而 r(2AB)r(AB)r(B)，故 r(B) r(2AB)r(A) 4。 于是秩(B *)4，仅(D)入选。6 【正确答案】 D【试
11、题解析】 解一 用排除法，可知仅(D)入选。 (A)f 1 中有一 x32 项，故取(x1，x 2，x 3) (0，0，1)0 时，有 f1(0，0，1) 11 不正定。 (B)f 2 中缺 x22 项，故取(x 1， x2，x 3)(0，1，0)0 时，有 f2(0，1，0) 0，因此 f2 不正定。 (C)f3(x1，x 2，x 3)x 123x 222x 322x 1x24x 2x3 (x 1x 2)22x 222x 324x 2x3 (x 1 x2)2 2(x1x 2)2，取 (x1，x 2，x 3)(1，1，1)0，有 f3(1，1，1)0，因此 f3 不正定。 解二 f4(x1，x
12、 2，x 3)x 123x 227x 322x 1x24x 1x3 (x 1x 22x 3)22x 224x 2x33x 32 (x 1x 22x 3)22(x 2x 3)2x 32，因正惯性指数 p3n(未知量个数)，故 f4 正定 f4 的对应矩阵为 其各阶顺序主子式均大于零： 故 f4 正定，仅(D)入选。7 【正确答案】 D【试题解析】 解 对于随机变量线性组合的方差，有如下等式成立： D(aXbY)a 2D(X)b 2D(Y)2abcov(X，Y) ， 而对于 X，Y 独立的情形，因 cov(X，Y)0，故 D(aXbY)a 2D(X)b 2D(Y)， 仅(D) 入选。8 【正确答案
13、】 D【试题解析】 解一 因为随机变量列 X1，X 2，X n，服从辛钦大数定律的条件是：各个随机变量独 立同分布，而且数学期望存在，显然 4 个选项中只有(D)满足此条件，仅(D) 入选。 解二 可用排除法判别之，选项 (A)、(C)虽然服从同一分布，但不能保证数学期望存在， 故排除(A)、(C) ，而选项 (B)中缺少同分布这一条件，也应排除，仅(D) 入选。二、填空题9 【正确答案】 4x 3f12xf 2x 4yf“11yf“ 22【试题解析】 解 3x 2fx 3yf1xyf 2。值得注意的是，f 1，f 2 与 f 一样都是关于 的函数，即再次对 x 或 y 求偏导时，也必须运用复
14、合函数求导法则，得到4x 3f12xf 2x 4yf“11yf“ 22。10 【正确答案】 3，1)【试题解析】 解一 原级数可化为 ，则故即3x1。当 x1 时，得到数项级数 该级数为 P1 21 的级数，故发散。当x3 时，得到数项级数 该级数为 P120 的交错级数，收敛，故所给幂级数的收敛区间为3，1)。解二 因为所以 的收敛区间为(2， 2)。 再由 2x12 可解得3x1，即收敛区间为(3，1)，关于端点处的敛散性的讨论同解一。11 【正确答案】 【试题解析】 解 令 yP，则 ，代入原方程，得到y 2(2ydyc 1)y 2(y2c 1)由初始条件y(0)1，y(1)1 得到 c
15、10，于是 py 2，则再由初始条件 y(0)1，得到c21，故 。12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 解 因 (3A) *1 (3 31 A*1故(3A) *1 的三个特征值为，最大的特征值为 。14 【正确答案】 【试题解析】 解一 先将联合分布律改写为下述表格形式，在此同一表格中可求出X，Y 及 XY 的分布律： 因而 X，Y及 XY 的分布律分别为：故 E(X)045， E(Y) 055， E(XY) P(X1，Y1)025， cov(X，Y) E(X ，Y) E(X)E(Y) 02504505500025。 D(X)p 1(1p 1)045(1045)
16、0450 55，D(Y) P 2(1P 2)055(1055)0550 45，解二 由联合分布表易求得 P 1P(X1) 045，P 2P(Y1) 055。由上述结论得到 E(X)045，D(X) 045(1045)045055， E(Y)055，D(Y)055(1 055) 055045，E(XY)P(X 1，Y 1)025，则 cov(X，Y) E(XY)E(X)E(Y)025045055，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 F(x)f(x)12，则F(0)f(0)121 20，F(1)f(1)121 12120。由零点(介值)定理知，存在 c(0，1
17、)，使 F(c)0，即 f(c)12。16 【正确答案】 在0，c 及c，1上对 f(x)分别使用拉格朗日中值定理得到：存在(0， c)， (c，1) ，使得 于是2c 2(1 c) 2，得证。【试题解析】 注意 上面利用(1)的结论证明了(2) 的结论，但(1)的结论也可由(2) 的结论推出。事实上，由得到 2f2(c)2cf(c)f(c)cf(c)2f(c)1c2f(c)1 f(c)c2f(c)10。因 f(x)不一定满足 f(x)x，故有 2f(c)10，即 f(c)12。17 【正确答案】 解 因在1，3内有 f(x)的两个瑕点 0 与 2，故所求的积分是瑕积分。18 【正确答案】 1
18、xx 2( 1)nxn ， 1x1，得到(2)由于级数的收敛区间为1 1， 即 1x3，级数 的收敛区间为1 1， 即 3x5，故级数的收敛区间为 1x3，但在x1 与 x3 处，级数发散，故收敛域为(1，3)。19 【正确答案】 证 (a b)(bc)(ca)(ab)b(c a)c(ca)(ab)bcbacccaa(bc) b(bc)a(ba)b(ba)a(ca) b(ca)a(bc) 0000 b(ca)a(bc) a(bc)2a(bc) 。20 【正确答案】 解 当 0 时，在矩形回路中连续可导，易求得。由格林公式即得 。 当0 时，这时矩形回路含有原点，为挖掉这个原点以 rmin(1，
19、) 为半径作圆，则可在以圆外到 ABCDA 所围的区域 D 内使用格林公式：21 【正确答案】 证一 利用拆项重组法及线性无关的定义证之。 由题设 可由1， 2， s 线性表出，可设 c 11c 22c ss，又令 k 11k 2(1 2)k s(s s1 )k( )0。将其拆项重组得到 (k 1k 2kc 1)1(k 2k 3kc 2)2 (k s kcs)sk0。因 1， 2， s 线性无关，而 不能由1， 2， s 线性表出，故 1， 2， s， 线性无关，因而 k0， k1k 2kc 1 0， k 2k 3 kc20， ， k skc s 0，即 k1k 20，k 2k 30，k s1
20、 k s0，k s0，解得 k 1k 2k s1 k s0，即 1， 1 2， 2 3， s1 s， 线性无关。 证二 注意到1， 2， s， 线性无关， c 11c 22c ss，由而1， 2， s， 线性无关，由矩阵表示法即知 1， 2， s， 线性无关。22 【正确答案】 E f(A)(EA) EAf(A)(EA) E A(EA)(EA)1 (EA) EAEA 2E。23 【正确答案】 ff(A) E f(A)Ef(A) 1 ，由(上题)可知Ef(A)1 ，故 ff(A) E f(A)(EA)2 E(E A)(E A) 1 (EA) 2 (EA)2(E A)(EA) 1 (EA)2 (E
21、A)2(EA) 2 A。24 【正确答案】 将 (x，y)定义域中的边界线段延长为直线，它们将整个平面分成5 个子区域： D1：x0 或 y0时， F(x ，y)P(Xx ，Yy) x y(x，y)dxdy 0。D 2：0x1 ，0y2 时，F(x ，y)P(Xx，Yy) x y(x，y)dxdyD3：x1，0y2 时，F(x， y)P(Xx，Yy)P(0X1，0Yy)D4：0x1，y2 时，F(x，y)P(Xx，Yy)P(0Xx， 0Y2)D5：x1，y2 时，F(x，y)P(Xx，Yy)P(0X1， 0Y2)25 【正确答案】 26 【正确答案】 解 (1) H 0： 020， H 1： 020。检验统计量为H0 的拒绝域为 RTt (n1) 。计算观测值为 t61538，查表得 t(n1)t 005 (15)17531。因6153817531，即 tt (n1)落在拒绝域内，拒绝 H0，接受 H1： 2，即含碘量超过标准，不合格。 (2) 2 未知， 的置信度为 1 095 即 005 的置信区间为 其中t/2(n 1)t 0025 (15)21315，代入上式即得所求的置信区间为(24139，24139)(22 61，2539) 。
