1、考研数学（数学一）模拟试卷 368 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 g(x)=f(x)/x（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0.（C）在 x=0 处右极限不存在 （D）有可去间断点 x=02 3 4 5 6 7 8 没 A，B，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B
2、的列向量组等价二、填空题9 10 11 设总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_12 13 已知 t 元二次型 xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3 的秩为 2，则其规范形为_14 (2009 年试题，二) 设 X1，X 2，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差若 为 np2 的无偏估计量，则k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占区域为D=(x，y) 丨 x2
3、+y2-xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75-x 2-y2+xy15 设 M(x0，y 0)为区域 D 上的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x0，y 0)，试写出 g(x0，y 0)的表达式；16 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 D 的边界曲线 x2+y2-xy=75 上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置17 18 19 求空间第二型曲线积分 其中 L 为球面x2+y2+z2=1 在第 1 象限部分的边界线，从球心看 L，L 为逆时
4、针19 已知向量 =(1,2,3,4)T 可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，一 1，一 3)T， 4=(0，0，3，3) T 线性表出20 求 1,2,3,4 应满足的条件；21 求向量组 1,2,3,4 的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；22 把向量 分别用 1,2,3,4 和它的极大线性无关组线性表出23 24 求极限 x.25 26 考研数学（数学一）模拟试卷 368 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解
5、析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AB=C，那么对矩阵 A，C 按列分块，有这说明矩阵 C 的列向量组 1， 2， n 可由矩阵 A 的列向量组 1， 2， n 线性表出 又矩阵 B可逆，从而 A=CB-1 ，那么矩阵 A 的列向量组也可南矩阵 C 的列向量组线性表出 由向量组等价的定义可知，应选(B) 或者，可逆矩阵可表示成若十个初等矩阵的乘积，于是 A 经过有限次初等列变换化为 C，而初等列变换保持矩阵列向量组
6、的等价关系故选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 63【试题解析】 11 【正确答案】 t(1)【试题解析】 12 【正确答案】 2【试题解析】 13 【正确答案】 y 12y32【试题解析】 二次型矩阵 因为A =(a+2)(a 一 1)2，由秩 r(A)=2，易见 a=一 2由 可知矩阵A 的特征值为 3，一 3，0从而正交变换下二次型标准形为 3y12 一 3y32，故其规范形为 y12 一 y3214 【正确答案】 因为 为 np2 的无偏估计量，所以由此得【试题解析】 本题考查了无偏估量的概念和二项分布的数字特征，重点还是要求考生能熟记二项分布等常见分
7、布的数字特征【知识模块】 参数估计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 由梯度向量的重要性质：函数 h(x，y)在点 M 处沿该点的梯度方向 =-2x0+y0，-2y 0+x0方向导数取最大值即 gradh(x，y)丨 (x0,y0)的模 g(x 0,y0)=【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 按题意，即求 g(z，y) 在条件 x2+y2-xy-75=0 下的最大值点 g2(x，y)=(y-2x) 2+(x-2y)2=5x2+5y2-8xy 在条件 x2+y2-xy-75=0 下的最大值点 这是求解条件最值问题，用拉格朗
8、日乘子法令拉格朗口函数 L(x，y，) =5x2+5y【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 法一 参数式法将 L 分成 3 段，在 xOy 平面上的一段记为 L1，参数式为 x=cost，y=sint，z=0，从 到 t=0于是其他两段计算类似，于是法二 用斯托克斯公式取曲面 S：x 2+y2+z2=1，x0 ，y0，z0，法向量指向原点于是 取计算之S 在 xOy 平面上的投影为Dxy=(x,y) x2+y21x0，y0) 于是其他两个类似，从而20 【正确答案】 可由 1,2,3,4 线性表出，即方程组 x11+x22+x33+x44= 有
9、解对增广矩阵作初等行变换，有所以向量 可以由1,2,3,4 线性表出的充分必要条件是： 12+3 一 4=021 【正确答案】 向量组 1,2,3,4 的极大线性无关组是： 1,2,3，而 4=一61+623322 【正确答案】 方程组的通解是：x 1=a1a2+2a36t，x 2=a22a3+6t，x 3=(a33t，x 4=t，其中 t 为任意常数，所以 =(a1 一 a2+2a36t)1+(a22a3+6t)2+(a33t)3+t4，其中 t 为任意常数由 把 4 代入，得 =(a1 一 a2+2a3)1+(a22a3)2+a3323 【正确答案】 24 【正确答案】 原式= =e-2.【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 综合26 【正确答案】 【知识模块】 综合
