1、考研数学（数学一）模拟试卷 339 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则（A）a=1,b=-1/6（B） a=1,b=1/6（C） a=-1,b=-1/6（D）a=-1,b=1/62 3 4 5 设 f(X)是连续函数，且 F(x)= ，则 f(x)等于( )6 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0基础解系的是（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（B） 1+2， 2 一 3， 3 一 4，
2、 4+1（C） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1（D） 1， 2， 3， 4 的等价向量组7 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中仍为分布函数的是 ( )（A）F(x 2)（B） F(x+1)（C） F(一 x) （D）1 一 F(一 x)8 （A） （B） （C） （D） 二、填空题9 10 11 设 f(x)= ，则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 处收敛于_12 X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0 ，2)上的均匀分布，Z min(X，Y)，则P(0Z1) _13 14 (2006 年试题，一) 微分方程 的
3、通解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A 为 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT 时，证明丨 A 丨016 设二阶常系数微分方程 y+ay+y=e2x 有一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定a， 和此方程的通解17 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb ，证明：18 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足求19 20 21 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，且满足方程 f(x)+x 2f(x)2f(x)0， 证明：若 f(a)f(b) 0，则 f(x)在 a，b上
4、恒为 022 23 设 ab，证明不等式：考研数学（数学一）模拟试卷 339 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 故选(A)6 【正确答案】 A【试题解析】 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关，例如向量组 1， 2,3， 4， 1+2 与向量组 1， 2,3， 4 呀 4 等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系。故 D 不正确。B,C 均线性相关，因此不能是
5、基础解系，故B 与 C 也不正确注意到：( 1+2)一( 2 一 3)一( 3 一 4)一( 4+1)=0，( 1+2)一(2+3)+(3 一 4)+(4 1)=0，唯有 A， 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 是Ax=0 的解，义由( 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1)=(1， 2,3， 4)且 =20，知 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一1 线性无关，且向量个数与 1， 2,3， 4 相同所以 A 也是 Ax=0 的基础解系故选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 函数成为分布函数的充要条件为(1)单调不减性；(2)(3)右连续性下面将对各个选项
6、逐个验证选项A，F(x 2)不满足单调不减性，且 选项 B，F(x+1)满足分布函数的三条性质；选项 C，F( 一 x)不满足单调不减性，且选项 D， 1 一 F(一 x)满足：(1)单调不减性；(2) 而是 令 t=一x，于是 即其值不一定等于 1-F(一 x0)，所以 1F(一 x)不一定具有右连续性8 【正确答案】 B【知识模块】 综合二、填空题9 【正确答案】 -16【试题解析】 10 【正确答案】 0【试题解析】 11 【正确答案】 1/2 2【试题解析】 x= 是- ，区间的端点，由收敛性定理知，该傅氏级数在 x= 处收 敛于 1/2f(-+0)+f(-0)=1/2-1+1+2=1
7、/2 212 【正确答案】 P min(X，Y)1PX1 Y1PX1 PY1 PX1 ，Y1213 【正确答案】 14 【正确答案】 是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得 lny=1nxx+C 1 即y=e C1xe -x 所以，此微分方程的通解是 y=Cxe-x，C 为 常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 若丨 A 丨=0，则 AAT=AA*=丨 A 丨 E=0 设 A 的行向量为ai(i=1，2，n) ，则 aiaiT=ai12+ai22+ain2=0(i=1，2，n) 于是 ai=(ai1ai2【知识模块】 综合16 【正
8、确答案】 由此方程的非齐次项含 e2x 及特解形式知，e 2x 是非齐次方程的特解，而由线性微分方程解的性质知(1+x)e x 应是其对应的齐次方程的解，故 r=1 为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为 r2-2r+1=0，由此得 a=-2，=1，故原方程为 y-2+y=ye2x，将 e2x 代入得 y=1，故得原方程为 y-2y+y=e2x，其通解为 y=(C1+C2x)ex+e2x17 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，所以又因为 f(x)0，所以 从而18 【正确答案】 由题设， =fu*y+fv*x， =fu*x-fv*y，因此 =yfuu*y+uv*x+
9、fv+xvu*y+fvv*x=y2fuu+2xyfuv+x2fvv+fv =xfuu*x-fuv*y-fv-yfvu*x-fvv*y=x2fuu-xyfuv-ffv-xyffuv+y2fvv=x2fuu-2xyfuv+y2fvv-fv，因此=y2fuu+2xyfuv+x2fvv+fv+x2fuu-2xyfuv+y2fvv-f=(x2+y2)(fuu+fvv)=x2+y219 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 证明(用反证法) 若最大值 M0，设 f(xM)M，x M(a，b) 则由费马定理得 f(xM)0，又 f(xM)为极大值 则 f(x M)0，另由题设得 f(x M)x 2Mf(xM)+2f(xM)2f(x M)2M 0 (与 f(x M)0 矛盾)故最大值 M0 同理可证最小值也必为 0，所以 f(x)在a，b上的最大值 M 和最小值 m 都必为零 因为 f(a)f(b)0，则 f(x)在a，b上恒为零【知识模块】 综合22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 【知识模块】 综合
