1、考研数学（数学一）模拟试卷 314 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)，g(x) 具有二阶导数，且 g“(x)0)=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是（A）f(a)0（C） f“(a)0 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题9 =_.10 11 12 13 已知 f(x)=arctan(x 一 1)2，F(0)=0，则 =_.14 (2012 年试题，二) =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设有齐次线性方程组 试问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求其通解16 17
2、 18 将三重积分的累次积分 表为定积分19 20 21 22 (2001 年试题，九) 设 1， 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， 3=t11+t21，其中 t1，t 2 为实常数，试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， s，也为 Ax=0 的一个基础解系23 本题满分 9 分。考研数学（数学一）模拟试卷 314 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【
3、试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 /2.【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 令 t=x 一 1，则本题用到奇函数在对称区间上积分值为零的结沦【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设齐次方程组的系数矩阵为 A，则 an+1 那么，Ax=0
4、 有非零解 丨 A 丨=0 a=0 或 a=-1/2(n+1)n当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等变换，有 故方程组的同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(-1，1， 0，0) T， 1=(-1，0，1，0) T， ， n-1=(-1，0，0，1) T于是方程组的通解为x=k11+kn-1n-1，其中 k1,k21,.,kn-1 为任意常数 当 a=1/2(n+1)n 时，对系数矩阵作初等行变换，有故方程组的同解方程组为由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数【试题解析】 确定参数，使包含 n 个未知量和 n 个方程的齐
5、次线性方程组有非零解，通常用两个方法：一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形；再就是由其系数行列式为零解出参数值本题的关键是参数 n 有两个俯，对每个值都要讨论【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 【分析与求解一】将 J 表成 ，确定积分区域 ，然后选择适当的积分顺序，将它化为定积分将 J 看成是三重积分的先一后二的累次积分，于是 其中因此， 是由半球面与半平面 z=l 所围成两面的交线是 即 在 xy 平面上的投影区域是 x2+y21，z=0，即 Dxy.现改为先二后一(z)的积分顺序， 的不等式表示为 ，截面区域 D(z)：x 2+y22一 z
6、2，面积 S(z)=(2 一 z2)因此【分析与求解二】将 J 看成是三重积分的先二后一的累次积分，确定二重积分的积分区域，然后逐次对二重积分交换积分次序，化为定积分其中 这里 x 视为常量，在 yz 平面上如图所示在 Dxy 上改为先 y 后 z 的积分顺序于是 其中现在 DxY 上改为先 X 后 z 的积分次序：于是 其中【分析与求解三】将 J 表成三重积分 之后，问题变成如何计算这个三重积分(化为定积分) ， 如前所述除 r 先二后一的积分顺序外，因 为旋转体，也可选择柱坐标变换(x=rcos，y=rsin ，z=z)，并选择先 r， 后 z 的积分顺序化为定积分 的柱坐标表示： 于是1
7、9 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 根据题设 i(i=1，2，s)是 1， 2 s 的线性组合，因此i(i=l， 2， ，s)都是 Ax=0 的解，即 Ai=0(i=1，2，s)题目待求结论要求i(i=1， 2， ，s)也是 Ax=0 的基础解系，结合已知，这等价于要求 12 t，线性无关，于是设 c11+c22+css=0 将已知 i(i=1，2，s)由i(i=l，2，s)线性表示的已知表达式代入上式并化简得(t 1c1+t2cs)1+(t2c1+t1c2)2+(t2cs-1 一 1+t1cs)s=0 因为 1， 2 s 是线性无关的，因此得到关于c1，c 2cs 的方程组如下 只要该方程组只有零解，即可得出 t1,t2 应满足的关系，该方程组行列式为因此当 s 为偶数时，t 1t 2；当 s 为奇数时， t1一 t2，有 12 s 也为 Ax=0 的一个基础解系【试题解析】 本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算，综合性很强【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】
