1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 70 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 在(- ，+)内连续，且 ，则( )（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续3 下列说法正确的是( ) （A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b
2、) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点二、填空题4 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0 ，则 =_.5 设 0yetdt+0xcostdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 =_.6 求xarctan =_.7 设 f(x)满足等式 xf(x)-f(x)= ，且 f(1)=4，则 01f(x)dx=_.8 设 f(x)的一个原函数为 xf(x)dx=_9 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= f(x)g(y-x)dxdy=_10 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为通解的三阶常系数齐次线性微分
3、方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求极限12 求极限13 求 f(x)的间断点并分类14 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2)= ，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f()=015 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f()016 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数17 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得
4、18 19 设 f(x)在(-a，a)(a 0)内连续，且 f(0)=2(1) 证明：对 0xa ，存在0 1，使得 0x(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)-f(-x)；(2)求20 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 01(x2)dx21 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?22 设 z=(x2+y2)sec2(x+y)，求23 计算 I= xydxdy，
5、其中 D 由 y=-x，y= 围成24 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成平面图形绕 z 轴旋转一周得旋转体体积为 a2f(a)-f(1)若 f(1)= ，求：(1)f(x) ；(2)f(x)的极值25 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cm s 2，问运动开始1min 后的速度是多少?26 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力
6、与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kg.s2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg.s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学二（高等数学）模拟试卷 70 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)= 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为 f(x)=0，所以 b0，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但
7、f(x) = x在 x=0 处不可导，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 令 不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C) 显然不对，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 因为 所以【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得 则【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 01f(x)dx=xf(x) 01-01xf(x)dx=f(1)-01f(x)+ dx=4-01f
8、(x)dx+01 (1-x)于是 01(x)dx=2-【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 a 2【试题解析】 由 f(x)g(y-x)= 得 I= f(x)g(y-x)dxdy=a201dxxx+1dy=a2【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y-3y+4y-2y=0【试题解析】 特征值为 1=1， 2=1i，特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0，即 3-32+4-2=0，所求方程为 y-3y+4y-2y=0【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
9、12 【正确答案】 x x-(sinx)x=xx =1当 x0 时，x-sinx，则【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 x=k(k=0，-1 ，-2，)及 x=1 为 f(x)的间断点因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点；由得 x=-2 为可去间断点；当 x=k(k=-1，-3，-4， )时，由 f(x)=得 x=k(k=-1，-3，-4， )为第二类间断点；由=得 x=1 为第二类间断点【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 由 得 f(1)=-1，又，所以 f(1)=0由积分中值定理得 f(2)= f(x)dx=f(c)，其中 c 由罗尔定理，存在 x0(c，
10、2)(1， 2)，使得 f(x0)=0令 (x)=exf(x)，则 (1)=(x0)=0，由罗尔定理，存在(1， x0) (0，2) ，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f()+f()=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 =f-(a) 0，所以存在 0，当 0x-a 时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，6)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 ae x=x2 等价
11、于 x2e-x-a=0令 f(x)=x2e-x-a，由 f(x)=(2x-x2)e-x=0 得x=0，x=2当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，于是 x=0 为极小值点，极小值为 f(0)=-a0；x=2 为极大值点，极大值为 f(2)= -a，又 =-a0(1)当 -a0，即 0a 时，方程有三个根；(2)当 -a=0，即 a= 时，方程有两个根(3)当 -a0，即 a 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设 c为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设
12、 a1ca 2a n令构造辅助函数 (x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)(x-an)，显然 (x)在a 1，a 2上 n 阶可导，且 (a1)=(c)=(a2)=(a n)=0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1， c)， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an，a n)，使得 (1(1)=(2)=( n)=0，(x)在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1)(x)在(a1， an)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得 (n-1)(c1)=(n-1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a n)，使得
13、(n)()=0而 (n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以 f(n)()=n!k，从而有 f(c)= f(n)()【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为(x 2ex)=(x2+2x)ex，所以【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (1)令 F(x)=0xf(x)dt+0-xf(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x，即 0xf(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)-f(-x)(2)令 =A，由 0xf(t)dt+0-xf(t)=xf(x)-f(-x)，得于是【知识模块】 高等数学20
14、【正确答案】 由泰勒公式，得与 t 之间，从而 f(x2) ，积分得 01f(x2)dx【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W1=40030=12000J设拉力对绳所做的功为 W2，任取x ，x+dx 0，30，dW 2=50(30-x)dx，则W2=030dW2=22500J设拉力对污泥做功为 W3，任取t，t+dt 0，10，dW3=(2000-20t)3dt，则 W3=0dW3=57000J，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91500J【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由 z=(x2+y2)sec2(x+y)，得 z=esec2
15、(x+y)ln(x2+y2)则 =esec2(x+y)ln(x2+y2)2sec2(x+y)tan(x+y)ln(x2+y2)+ sec2(x+y)， =esec2(x+y)ln(x2+y2)2sec2(x+y)tan(x+y)ln(x2+y2)+ sec2(x+y)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1，D 2，其中 D1=(x，y)0x1，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1)由题设知， 1af2(x)dx= a2f(a)-f(1)，两边对 a 求导，得 3f2(a)=2af(a)+a2f(a) 令=3u2-3u =ca3，即 f(a)=，得 c=-1
16、，所以 f(x)= (2)因为又因为 为极大值【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由题意得 F=k ，因为当 t=10 时，v=50，F=392，所以k=196，从而 F=196 ，又因为 F= ，分离变量得vdv=196tdt，所以 v2=98t2+C，由 v t=10=50，得 C=-8550，于是【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力 Ry=kyv2，摩擦力为 W=(mg-Ry)，由牛顿第二定律，有 +g=0 记 A=，B=g，显然 A0，故有分离变量得 ，两边积分得 =-t+C，又当 t=0 时，所以当 v=0 时，【知识模块】 高等数学
