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    [考研类试卷]考研数学二(高等数学)模拟试卷60及答案与解析.doc

    • 资源ID:843651       资源大小:381KB        全文页数:15页
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    5、试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。

    [考研类试卷]考研数学二(高等数学)模拟试卷60及答案与解析.doc

    1、考研数学二(高等数学)模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) (A)若f(x)在 x=s 处连续,则 f(x)在 x=a 处连续(B)若 f(x)在 x=a 处连续,则f(x)在 x=a 处连续(C)若 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续(D)若 f(a+h)-f(a-h)=0,则 f(x)在 x=a 处连续2 下列命题成立的是( ) (A)若 f(x)在 x0 处连续,则存在 0,使得 f(x)在x-x 0 内连续(B)若 f(x)在 x0 处可导,则存在 0,使得 f(x)在x-

    2、x 0 内可导(C)若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导,在 x0 处连续且 存在,则 f(x)在 x0处可导,且 f(x0)=(D)若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导,在 x0 处连续且 不存在,则 f(x)在 x0 处不可导3 设函数 f(x)在(-,+) 内连续,其导数的图形如右图,则 f(x)有( )(A)两个极大值点,两个极小值点,一个拐点(B)两个极大值点,两个极小值点,两个拐点(C)三个极大值点,两个极小值点,两个拐点(D)两个极大值点,三个极小值点,两个拐点4 设 a=05x dt,= 0sinx dt,则当 x0 时,两个无穷小的关系是 ( )(A)高阶无穷小(B)低阶

    3、无穷小(C)同阶非等价无穷小(D)等价无穷小5 设 ,其中 D:x 2+y2a2,则以值为( )(A)1(B) 2(C)(D)6 设 1(x), 2(x), 3(x)为二阶非齐次线性方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为( )(A)C 11(x)+2(x)+C23(x)(B) C11(x)-2(x)+C23(x)(C) C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)(D)C 11(x)+C22(x)+C33(x),其中 C1+C2+C3=1二、填空题7 =_.8 设 f(x)可导且 f(x)0,则 =_.9 设 f(x)二阶连续可导,且 =0,f(0)

    4、=4,则 =_.10 设 f(x)在(-,+) 上可导, f(x)=e2,又 f(x)-f(x-1),则 a=_11 求 =_.12 求 =_.13 设 u=u(x,y)二阶连续可偏导,且 ,若 u(x,3x)=x ,u x(x,3x)=x 3,则 uxy(x,3x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 a1=1,当 n1 时,a n+1= ,证明:数列a n收敛并求其极限15 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0),对任意的 xn,作 xn-1=f(xn)(n=0,1,2,),证明: xn 存在且满足方程 f(x)=x16 一质点从时间 t=0 开始直线运动,

    5、移动了单位距离使用了单位时间,且初速度和术速度都为零证明:在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不小于417 设 f(x)在0,+)内可导且 f(0)=1,f(x)f(x)(x 0)证明:f(x)e x(x0)18 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0,f(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x,f(x)(x0)处作切线,此切线在 x 轴上的截距为 u,求19 设 x3-3xy+y3=3 确定隐函数 y=y(x),求 y=y(x)的极值20 21 设 f(x)在0,1上连续,且 0mf(x)M,对任意的 x0,1,证明:22 求曲线 y=3-x 2-1与 x 轴围成的封闭区域绕

    6、直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积23 设 u=u(x,y)由方程组 u=f(x,y,z ,t),g(y,z,t)=0 ,h(z,t)=0 确定,其中f,g, h 连续可偏导且24 设 f(x)在a,b上连续,证明: abf(x)dxxbf(y)dy= abf(x)dx225 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1,1) ,曲线 L1 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2,曲线 L2 在点(x , y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2,求两曲线所围成区域的面积考研数学二(高等数学)模拟试卷 60 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案

    7、】 B【试题解析】 令 f(x)= 显然f(x) 1 处处连续,然而 f(x)处处间断,(A)不对;令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续,但在任意 x=a0处函数 f(x)都是间断的,故(C) 不对;令 f(x)= f(0+h)f(0-h)=0,但 f(x)在 x=0 处不连续,(D)不对;若 f(x)在 x=a 处连续,则 =f(a),又 0f(x)-f(a)f(x)-f(a),根据迫敛定理, f(x)= f(a),选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续,对任意的 x00,因为 f(x)不存在,所以 f(x

    8、)在 x0 处不连续,(A)不对;同理 f(x)在 x=0 处可导,对任意的 x00,因为 f(x)在 x0 处不连续,所以 f(x)在 x0 处也不可导,(B)不对;因为=f(),其中 介于 x0 与 x 之间,且 f(x)存在,所以也存在,即 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)=,选(C) ;令不存在,(D) 不对【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时,f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1,0),(x 2,0),其中x1x 2;当 x0 时,f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3,0),(x 4,0),其中 x3x 4当xx 1 时,f(x)0,当 x

    9、(x1,x 2)时,f(x)0,则 x=x1 为 f(x)的极大点;当x(x2,0)时,f(x)0,则 x=x2 为 f(x)的极小值点;当 x(0,x 3)时,f(x)0,则x=0 为 f(x)的极大值点;当 x(x3,x 4)时,f(x)0,则 x=x3 为 f(x)的极小值点;当xx 4 时,f(x)0,则 x=x4 为 f(x)的极大值点,即 f(x)有三个极大值点,两个极小值点,又 f(x)有两个零点,根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得,y=f(x)有两个拐点,选(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ,所以两无穷小同阶但非等价,选(C) 【知识模块

    10、】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 令 (02,0ra),由解得 a=2,选(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x), 2(x), 3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,所以 1(x)-3(x), 2(x)-3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解,于是方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x)-3(x)+C22(x)-3(x)+3(x) 即C11(x)+C22(x)+C33(x),其中 C3=1-C1-C2 或 C1+C2+C3=1,选(D)【知识模块】

    11、高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时, 所以由于又 于是原式=【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 e 2【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0,f(0)=0,则而f(0)=2,所以=e2【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 1【试题解析】 =e2a,由 f(x)-f(x-1)=f(),其中 介于 x-1 与 x 之间,令 x ,由 f(x)=e2,得 f(x)-f(x-1)=f()=e2,即 e2u=e2,所以 a=1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12

    12、【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 u(x,3x)=x 两边对 x 求导,得 ux(x,3x)+3u y(x,3x)=1,再对 x 求导,得 uxx(x,3x)+6u xy(x,3x)+9u yy(x,3x)=0由 ,得10uxx(x,3x)+6u xy(x,3x)=0,u x(x,3x)=x 3 两边对 x 求导,得 uxx(x,3x)+3uxy(x,3x)=3x 2,解得 uxy(x,3x)=【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 f(x)= (x0),所以数列a n单调又因为 a1=

    13、1,0a n+11,所以数列a n有界,从而数列a n收敛,令an=A,则有【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 x n+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f(n)(xn-xn-1),因为 f(x)0,所以 xn+1-xn,与xn-xn-1 同号,故x n单调 x n=f(x n-1)= f(x 1)+x1xn-1f(x)dxf(x 1)+ x1xn-1f(x)dx f(x 1)+ -+ dx=f(x 1)+k,即x n有界,于是 xn 存在,根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续,等式 xn+1=f(xn)两边令n,得 xn=f( xn),原命题得证【知识模块】 高等数学16 【

    14、正确答案】 设运动规律为 S=S(t),显然 S(0)0,S(0)=O,S(1)=1 ,S(1)=0 由泰勒公式两式相减,得 S(2)-S(1)=-8 S(1)+S( 2)8当S( 1)S( 2)时,S( 1)4;当S( 1)S( 2)时,S( 2)4【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 (x)=e-x-xf(x),则 (x)在0,+)内可导, 又 (0)=1,(x)=e -xf(x)-f(x)0(x0),所以当 x0 时,(x)(0)=1, 所以有 f(x)e x(x0)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x,f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f(x

    15、)(X-x),令Y=0 得 u=x- ,由泰勒公式得 f(u)= f(1)u2,其中 1 介于 0 与 u 之间,f(x)=f(2)x2,其中 2 介于 0 与 x 之间,于是【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 x 3-3xy+y3=3 两边对 x 求导得 3x2-3y-3xy+3y3y=0,解得由 因为 y(-1)=10,所以 x=-1 为极小值点,极小值为 y(-1)=1;因为 =-10,所以为极大值点,极大值为 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令=t,则 x=ln(2+t2),dx= dt,所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 0mf(x)M,所以 f(x)

    16、-m0,f(x)-M0 ,从而0,于是 f(x)+ M+m,两边积分得 01f(x)dx+Mm01 dxM+m,因为 01f(x)dx+Mm01所以【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数,只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积当 x0 时, 对x,x+dx 0,1,dV1=32-3-(x2+2)2dx=(2x2-x4+8)dx,V 1=01dV1=01(2x2-x4+8)dx= ;对x,x+dx 1,2,dV 0=32-3-(4-x2)2dx=(2x2-x4+8)dx,V 2=12dV2=12(2x2-x4+8)dx= ,则 V=2(V1+V2)=【知识模块】

    17、 高等数学23 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成,故确定了三个二元函数,其中x,y 为自变量,由 u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 ,得所以 =f1.三个方程两边对 y 求偏导得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt,则f(x)dxf(y)dy=f(x)F(b)-F(x)dx=F(b) abf(x)dx-abf(x)F(x)=F(b)-abF(x)dF(x)=F2(b)- F2(x) ab= F2(b)= abf(x)dx2.【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 对曲线 L1,由题意得 =2,解得 y=x(2x+C1),因为曲线L1 过点(1 ,1),所以 C1=-1,故 L2:y=2x 2-x对曲线 L2,由题意得 (xy)=2,解得 y= ,因为曲线 L2 过点(1 ,1),所以 C2=-1,故 L2:y=2- 由 2x2-x=2-得两条曲线的交点为 ,(-1,3)及(1 ,1),故两条曲线所围成区域的面积为【知识模块】 高等数学


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