1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 在(-，+) 内连续，且 ，则( )（A）a0 ，b0（B） a02 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续3 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)-f(-t)dt（B） 0xtf(t)+f(-t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt4 sinx2dx 为( )（A）等于 0（B）大于 0（C）小于 0（
2、D）不能确定5 若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) 6 设 D=(x， y)0x ， 0y，则 等于( )7 设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在二、填空题8 设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 =_9 设函数 =_10 设 f(x)在(-，+) 上可导， ，则a=_11 设 z=f(x，y)二阶可偏导， ，且 f(x，0)=1 ，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_三、解答题解答应写出文字说明
3、、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)0，F(x)= 0xtf(t2-x。)dt，且当 x0 时，F(x)x，求n 及 f(0)13 14 设 x3-3xy+y3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点15 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)1(x 0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：16 设 f(x)在-1 ，1 上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=4求17 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f“(x)0 曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在
4、x 轴上的截距为 u，求18 设 ，求 01x2f(x)dx19 设 f(x)连续，且 f(x)=20xf(x-t)dt+ex，求 f(x)20 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx21 22 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 取何值时，球面S 在定球面内的面积最大?23 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到400，求前 12h 后的细菌总数24 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为
5、 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?考研数学二（高等数学）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为，所以 b【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续，因为，所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时， ，当 x，所以 f(x)
6、在x=0 处连续，选(D)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)-f(-t)为偶函数，所以 0xtf(t)-f(-t)dt 为奇函数，(A)不对 因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 出为奇函数，(C) 不对； 因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以(D)不对；令 F(x)=0xtf(t)+f(-t)dt， F(-x)= 0-xtf(t)+f(-t)dt=0x(-u)f(u)+f(-u)(-du)=F(x)，选(B)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 A【试题解析】 曲
7、线 由于切线位于曲线 的上方，所以由曲线 ，切线及 x=1，x=3 围成的面积为 当 t(0，2)时，S(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最小值，此时切线方程为 ，选(A)【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex 中，令 x=0，则 y“(0)=2，于是，选(A)【知识模块】 高等数学部分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 1【试题解析】 ，由 f(x)-f(x-1)=f()
8、，其中 介于 x-1 与 x 之间，令 x，由=e2，即 e2a=e2，所以 a=1【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 ，因为 fy(x，0)=x ，所以 (x)=x，即z=y2+xy+C，因为 f(x，()=1，所以 C=1，于是 z=y2+xy+1【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 x 3-3xy+y3=3 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 由泰勒公式得两边取绝对值，
9、再由f“(x)1，得【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f(x)(X-x)，【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 0xf(x-t)dt x0f(u)(-du)=0xf(u)du，f(x)=2 0xf(u)du+ex 两边求导数得 f(x)=2f(x)=ex 则 f(x)=(exe -2xdx+C)e-2dx=Ce2x-ex 因为 f(0)=1，所以 C=2，故f(x)=2e2x-ex【知识模块】 高等数学部分20 【正确
10、答案】 令 g(t)=lnt(t0)， ，再令 x0=01f(x)dx，则有 g(t)g(x0)+g(x0)(t-x0) gf(x)g(x0)+g(x0)f(x)-x0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 设球面 S：x 2+y2+(z-a)2=R2，由 得球面 S 在定球内的部分在 xOy 面上的投影区域为【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 ，S(0)=100，S(24)=400 ，【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 任取时间元素t，t+dt，排 ru 湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为，又由 m(0)=5m0，得 ，于是，令 m=m0，得 t=6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 高等数学部分
