1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在-1， 1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点2 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，且 =-1，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3 设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 =( )（A）f 2+xf“11+(x+z)f
2、“12+xzf“22（B） xf“12+xzf“22（C） f2+xf“12+xzf“22（D）xzf“ 224 设 D：x 2+y216，则 x2+y2-4dxdy 等于( )（A）40（B） 80（C） 20（D）60二、填空题5 设 a0，且 ，则 a=_，b=_6 若 ，则 a=_，b=_7 设 f(x)二阶连续可导，且 =1，f“(0)=e，则 =_8 =_9 设 f(x)连续，则 =_。10 设 z= ，则 dz=_11 设 y“-3y+ay=-5e-x 的特解形式为 Axe-x，则其通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 13 求14 设 a1=1，a 2
3、=2，3a n+2-4an+1=0，n=1 ，2，求15 设 f(x)=x-a g(x) ，其中 g(x)连续，讨论 f(a)的存在性16 设函数 f(x)，g(x) 在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f(a)=g(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)17 证明不等式：xarctanx18 证明：当 x0 时，19 求20 21 求 013x2arcsinxdx22 求23 设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 abf(x)dx=(b-a)24 设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，
4、其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明：25 计算 (3xy+y2)d，其中 D 由 y=x2，y=4x 2 及 y=1 围成26 求满足初始条件 y“+2x(y)2=0，y(0)=1 ，y(0)=1 的特解考研数学二（高等数学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为，所以 x=0 为 g(x)的可去间断点，选(A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 由极限保号，存在 0，当 0 30，则当 00，从而 0则 x=0 为 f(x)的极小点，应选
5、(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 =f1+zf2， =xf“12+f2+xzf“22，选(C)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 B【试题解析】 x 2+y2-4dxdy= 02d04r 2-4rdr=2 04r 2-4rdr=2 02(4-r2)rdr+24(r2-4)rdr=80，选 (B)【知识模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 1，4【试题解析】 由 得 b=1，则，故 a=4【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 1，-4【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 e 2【试题解析】 由 =1 得 f(0)=0，f
6、(0)=1，于是【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 0xf(u)du+xf(x)【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 C 1e-x+C2e4x+xe-x【试题解析】 因为方程有特解 Axe-x，所以-1 为特征值，即 (-1)2-3(-1)+a=0 a=-4， 所以特征方程为 2-3-4=01=-1， 2=4，齐次方程 y“-3y+ay=0 的通解为y=C1e-x+C2e4x，再把 Axe-x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C1e-x+
7、C2e4x+xe-x【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 由 3an+2-4an+1+an=0，得 3(an+2-an+1)=an+1-an(n=1，2，) 令bn=an+1-an，则 bn+1b n=13(n=1 ，2，)，由 b1=1，得 bn= (n=1，2，)，即解得 an=1+ ，所以 =52【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 由 =-g(a)f-(a)=-g(a)；由 =g(a)得 f+(a)=g(a)，当 g(a)=0 时
8、，由 f-(a)=f+(a)=0 得 f(x)在 x=a 处可导且 f(a)=0；当 g(a)0 时，由 f-(a)f+(a)得 f(x)在 x=a 处不可导【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 (x)=f(x)-g(x)，显然 (a)=(a)=0，“(x)0(xa)由得 (x)0(xa)；再由 得 (x)0(xa)，即f(x)g(x)【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 f(x)=xarctanx- ，f(0)=0 令 f(x)= +arctanx-=arctanx=0，得 x=0，因为 f“(x)- 0，所以 x=0 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，而 f(0
9、)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即 xarctanx【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 令 F(x)=xf(t)dt，则 F(x)在a，b 上三阶连续可导，取 x0= ，由泰勒公式得 F(a)=F(x0)+F(x0)(a-x0)+ (a-x0)2+ (a-x0)3， 1(a，x 0)，F(b)=F(x0
10、)+F(x0)(b-x0)+ (b-x0)2+ (b-x0)3， 2(x0，b)，两式相减得 F(b)-F(a)=F(x0)(b-a)+ F“(1)+F“(2)，即 abf(x)dx=(b-a) f“(1)+f“(2)，因为 f“(x)在a，b上连续，所以存在 1， 2 (a，b)，使得 f“()= f“(1)+f“(2)，从而 abf(x)dx=(b-a)【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 令 y=p，则 y“= ，代入方程得 +2xp2=0，解得 =x2+C1，由y(0)=1 得 C1=1，于是 y= ，y=arctanx+C 2，再由 y(0)=1 得 C2=1，所以y=arctanx+1【知识模块】 高等数学部分
