1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)，g(x) 均有二阶连续导数，满足 f(0) 0，g(0)0，且 f(0)=g(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0) 处取得极小值的一个充分条件是（A）f“(0)0，g“(0)0（B） f“(0)0，g“(0)0（C） f“(0)0，g“(0)0（D）f“(0)0，g“(0)02 设函数 f(x， y)可微，且对任意 x，y 都有 0，则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是（A）x 1x 2，y 1y 2（B
2、） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 23 设区域 D 由曲线 y=smx，x= (xy5 一 1)dxdy =（A）（B） 2（C）一 2（D）一 4 设 z= f(xy)，其中函数 f 可微，则（A）2yf(xy)（B）一 2yf (xy)（C）（D）5 设 Dk 是圆域 D=(x，y)|x 2+ y21在第 k 象限的部分，记 Ik= (y 一 x)dxdy(k=1，2，3，4)，则（A）I 10（B） I20（C） I30（D）I 406 设函数 M(x，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 =0
3、，则（A）u(x ，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得（B） u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得（C） u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值都在 D 的边界上取得 （D）u(x ，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值都在 D 的边界上取得7 设函数 f(u， )满足 依次是8 设 D 是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x，y= 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则9 已知函数 f(x，y)= 则（A）f x一 fy=0（B） fx+fy=0（C） fx一 fy=f（D）f x+fy=f二、填空题10 设平面区域 D 由直线
4、 y=x，圆 x2+ y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分_11 设 z= 其中函数 f(u)可微，则 =_12 设 z=z(x，y)是由方程 e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则 =_13 若函数 z=z(x，y)由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定，则 dz|(0，0) =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 u=f(x，y) 具有二阶连续偏导数，且满足等式=0确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下简化为 =015 计算二重积分 I= 其中 D=(r，)|0rsec ，016 设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具
5、有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在x=1 处取得极值 g(1)=1求17 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 I= xyf“xy(x，y)dxdy18 求函数 f(x，y)= 的极值19 计算二重积分 xyd，其中区域 D 由曲线 r=1+cos(0)与极轴围成20 求曲线 x3 一 xy+y3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离21 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3y 及 x+y=8 围成，计算 x2dxdy22 设平面区域 D=(x
6、，y)|1x 2+y24，x0 ，y0 ，计算23 已知函数 f(x，y)满足 fxy“(x，y)=2(y+1)e x，f x(x，0)=(x+1)e x，f(0，y)= y 2+2y，求f(x，y)的极值24 计算二重积分 x(x+y)dxdy，其中 D=(x ，y)|x 2+y22，yx 225 已知函数 z=z(x，y)由方程(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0 确定，求 z=z(x，y)的极值26 设 D 是由直线 y=1，y=x，y=一 x 围成的有界区域，计算二重积分考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
7、符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 则 AC 一 B20 故 z=f(x)g(y)在(0 ， 0)点取极小值，应选(A) 2 【正确答案】 D【试题解析】 由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由0 可知，f(x，y)关于变量 x 是单调增的，关于变量 y是单调减的，因此，当 x1x 2，y 1y 2 时，f(x 1，y 1) f(x 2，y 1)，f(x 2，y 1)f(x 2，y 2)则 f(x 1，y 1)f(x 2，y 2)故应选(D) 3 【正确答案】 D【试题解析】 作辅助线 y=一 sinx( x0)如图，将区域 D 分为两部分 D1 和D2，其中 D1 关于 x 轴对
8、称，D 2 关于 y 轴对称，而 xy5 分别关于变量 x 和 y 都是奇函数，则4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 和 D3 关于直线 y=x 对称，则 而在 D2 上，y 一 x0，在 D4 上 y 一 x0，则 I20，I 40 故应选(B)6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设=0，可知，B0，A+C=0，则 AC 一 B20 故函数 u(x，y)在区域 D 内无极值点，因此，u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得故应选(A)7 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知积分域 D 如右
9、图所示，曲线 2xy=1，4xy=1 在极坐标下方程分别为 2r2cossin=1， 4r2cossin=1故应选(B)9 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 0【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 将 x=0，y=0 代入 ex+2y+3z+xyz=1 中得 e3z=1，则 z=0 方程ex+2y+3z+xyz=1 两端微分得 ex+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xy dz=0 将x=0，y=0，z=0 代入上式得 dx+2dy+3dz=0 则 dz|(
10、0，0) =三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 将以上各式代入原等式，得15 【正确答案】 由题设知，积分区域 D 如图所示，将积分化为直角坐标系下的二重积分为16 【正确答案】 由题意 g(1)=0因为 =yf1+yg(x)f2 = f1+ yxf11“+g(x)f12“ + g(x)f2+ yg(x) xf21“+ g(x)f22“所以 =f1(1，1)+f 11“(1，1)+f 12“(1，1)17 【正确答案】 因为 f(1，y)=0 ，f(x，1)=0，所以 fy(1，y)=0，f x(x，1)=0从而I=01xdx01yf(x，y)dy= 01xy
11、fx(x，y) 01 一 fx(x，y)dydx=一 01dy01xfx(x，y)dx=一01xf(x，y)| x=0x=1 一 01f(x，y)dxdy= 01dy01f(x，y)dx=a a= 01dy01f(x，y)dx=01xf(x，y)| x=0x=1 一 01xfx(x，y)dxdy= 一 01dx01xfx(x，y)dy=一 01xfx(x，y)=|y=0y=1 一 01xyfxy“(x，y)dydx= xy fxy“(x，y)d 这里用到了条件 f(1，y)=0，f(x，1)=0，并由此有 fy(1，y)=0，f x(x，1)=0 18 【正确答案】 在点(1 ，0) 处，由于
12、 B2 一 AC=一 2e 一 10，A= 0 所以 f(1，0)= 是 f (x，y)的极大值在点 (一 1，0) 处，由于 B2 一 AC=一 2e 一 10，A= 0 所以f(一 1，0)= 是，(x，y)的极小值19 【正确答案】 20 【正确答案】 设(x，y)为曲线上的点，目标函数为 f(x，y)=x 2+y2，构造拉格朗日函数 L(x， y，)=x 2+y2+(x3 一 xy+y31)令 = 2x+(3x2 一 y)= 0 = 2y+(3y2 一 x)=0 = x3 一 xy+y3 一 1=0 当 x0，y0 时，由， 得即 3xy(y 一 x)=(x+y)(x 一 y)，得 y
13、=x，或 3xy=一(x+y)( 由于x0，y0，舍去)将 y=x 代入 得 2x3 一 x2 一 1=0，即(2x 2+x+1) (x 一 1)=0，所以(1 ，1) 为唯一可能的极值点，此时 当 x=0，y=1 或 x=1，y=0时， 故所求最长距离为 ，最短距离为 121 【正确答案】 22 【正确答案】 由于积分域 D 关于直线 y=x 对称，则23 【正确答案】 由 fxy“=2(y+1)ex，得 fx=(y+1)2ex+(x) 因为 fx(x，0)=(x+1)e x，所以 ex+(x)=(x+1)ex 得 (x)=xex，从而 fx=(y+1)2ex+xex 对 x 积分得 f(x
14、，y)=(y+1)2ex+(x 一 1)e2+(y) 因为 f(0，y)=y 2+2y，所以 (y)=0，从而 f(x，y)=(x+y2+2y)ex 于是 fy=(2y+2)ex，f xx“=(x+y2+2y+2)ex，f yy“=2ex 令 fx=0， f y=0，得驻点(0 ，一 1)，所以 A=f xx“(0，一 1)=1，B=f xy“(0，一 1)=0，C=f yy“(0， 一 1)=2 由于 AC 一 B20，A 0，所以极小值为 f(0， 一 1)=一 124 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 xydxdy=025 【正确答案】 在(x 2+ y2)z+lnz+2(x+ y+1)=0 两边分别对 x 和 y 求偏导数，得将式代入方程 (x2+ y2)z+lnz+2(x+ y+1)=0，得 lnz 一 +2=0，可知 z=1，从而对中两式两边分别再对 x，y 求偏导数，得由于 AC 一 B 20，A 0，所以 z(一 1，一 1)=1 是 z(x，y)的极大值26 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以
