1、考研数学二（行列式）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A2，B6，则为( ) （A）24（B） 24（C） 48（D）482 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且EA0，则2EA 2为( )（A）0（B） 54（C） 2（D）243 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）ABAB（B）若 AB0，则 AO 或 BO（C） AB A B（D）ABAB4 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且A 1， 2， 3， 1m，B 1， 2， 2， 3n，则 3
2、， 2， 1， 1 2为( )（A）mn（B） mn（C） (mn)（D）nm二、填空题5 设 f() ，则 2 项的系数为_6 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a 1，a 2，a1，则 a_7 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且Aa，Bb，则_8 设 A( 1， 2， 3)为三阶矩阵，且A3，则 12 2， 23 3， 32 1_9 设三阶矩阵 A(， 1， 2)，B(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且A3，B4，则5A2B_10 设 D ，则 A31A 32A 33_11 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似
3、于 B，且EA E 2AE3A0，则B -12E_12 设 A 为三阶正交阵，且A0，BA4，则EAB T_13 设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算行列式15 计算 D16 证明：17 设 D (1)计算 D；(2)求 M31M 33M 3418 设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA019 设 A(a ij)nn 是非零矩阵，且 A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A020 计算 D2n21 计算 (ai0，i1，2，n)22 设 D ，求 Ak1A k2A km23 设 A，B 为三阶矩阵，且
4、AB，且 11， 22 为 A 的两个特征值，B 2，求 考研数学二（行列式）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D【知识模块】 行列式2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E0，所以 A 有特征值1，于是 2EA 2 的特征值为 18，3，于是2EA 254，选B【知识模块】 行列式3 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、C 显然不对，设 ，显然 A，B 都是非零矩阵，但 ABO， 所以AB0，B 不对，选 D【知识模块】 行列式4 【正确答案】
5、 D【试题解析】 3， 2， 1， 1 2 3， 2， 1， 1 3， 2， 1， 2 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 1， 2， 3， 1 1， 2， 2， 3 nm， 故选 D【知识模块】 行列式二、填空题5 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f()的 3 次项和 2 次项都产生于(2)(23)(31)，且该项带正号，所以 项的系数为 23【知识模块】 行列式6 【正确答案】 1【试题解析】 由(a1) 2(a2) 3(a1)0 得 a1【知识模块】 行列式7 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B
6、 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去盲到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 (1) mnab【知识模块】 行列式8 【正确答案】 33【试题解析】 12 2， 23 3， 32 1 1， 23 3， 32 12 2， 23 3， 32 1 1， 23 3， 32 2，3 3， 32 1 1， 2， 36 2， 3， 32 1 1， 2， 36 2， 3， 1 1， 2， 312 2， 3， 1 1， 2， 312 1， 2， 333【知识模块】 行列式9 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A2B(5a，5 1，5 2)(2，2 1，2 2)(52，3 1，3 2)，得
7、 5A2B52 ，3 1，3 2952， 1， 2 9(5 ， 1， 22 ， 1， 2)63【知识模块】 行列式10 【正确答案】 0【试题解析】 A 31A 32A 33A 31A 32A 330A 340A 35 0【知识模块】 行列式11 【正确答案】 60【试题解析】 因为EAE 一 2AE3A0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B 的特征值为 ，1，从而 B-1 的特征值为1，2，3，则 B-12E 的特征值为 3，4，5，故B -12E60【知识模块】 行列式12 【正确答案】 4【试题解析】 A0 A1 E ABT AATAB TA(A B)TABB A4【知识
8、模块】 行列式13 【正确答案】 k n(n-1)an-1【试题解析】 因为(kA) *k n-1A*，且A *A n-1，所以 (kA) *k n-1A*k n(n-1)A n-1k n(n-1)an-1【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 行列式15 【正确答案】 【知识模块】 行列式16 【正确答案】 【知识模块】 行列式17 【正确答案】 (2)M31M 33M 341A 310A 321A 33(1)A 34【知识模块】 行列式18 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATAE，两边取行列式得A 21，因为A0，
9、所以A1 由EAA TAA(A TE)AAA TE A TE (A E) TE A 得EA 0【知识模块】 行列式19 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 Aa k1Ak1a k2Ak2a knAkna k12a k22a kn20【知识模块】 行列式20 【正确答案】 【知识模块】 行列式21 【正确答案】 【知识模块】 行列式22 【正确答案】 A (1) n+1n!，得A*AA -1( 1) n+1n!A-1，所以 Ak1A k2A kn 【知识模块】 行列式23 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由B 1232 得 31 AE 的特征值为 2，3，2，(AE) -1 的特征值为，则(AE) -1 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B *4，(2B)*4B *4 3B *256，故【知识模块】 行列式
