1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（A）无法确定方程组是否有解。（B）方程组有无穷多解。（C）方程组有唯一解。（D）方程组无解。2 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（A）当 nm 时，仅有零解。（B）当 nm 时，必有非零解。（C）当 mn 时，仅有零解。（D）当 mn 时，必有非零解。3 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，那么 122，4
2、1 一32， (21+2)， 中，仍是线性方程组 Ax=b 特解的共有( )（A）4 个。（B） 3 个。（C） 2 个。（D）1 个。4 设 A= ，方程组 Ax=0 有非零解。 是一个三维非零列向量，若 Ax=0的任一解向量都可由 线性表出，则 a=( )（A）1。（B）一 2。（C） 1 或一 2。（D）一 1。5 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是( )（A） 1+2。（B） k1。（C） k(1+2)。（D）k( 1 一 2)。6 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是
3、非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系 ( )（A）不存在。（B）仅含一个非零解向量。（C）含有两个线性无关的解向量。（D）含有三个线性无关的解向量。7 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )8 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()AtAx=0，必有( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解。（B） ()的解是(
4、)的解，( )的解不是()的解。（C） ()的解是( )的解，( )的解不是()的解。（D）() 的解不是 ()的解，()的解也不是()的解。9 设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A *是 A 的伴随矩阵，则( )（A）A *x=0 的解均是 Ax=0 的解。（B） Ax=0 的解均是 A*x=0 的解。（C） Ax=0 与 A*x=0 没有非零公共解。（D）Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解。二、填空题10 已知方程组 总有解，则 应满足的条件是_。11 已知齐次线性方程组 有非零解，则 a=_。12 设 1=(6，一 1，1) T 与 2
5、=(一 7，4，2) T 是线性方程组的两个解，则此方程组的通解是_。13 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1+2+23=(2，0，0，0) T，3 1+2=(2，4，6，8) T，则方程组 AX=b 的通解是_。14 若 ，则 X=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知方程组 有解，证明：方程组无解。16 设线性方程组 已知(1，一 1，1，一 1)T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解。16 已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 A= 。 1=(0，1，一 1)T， 2=(0，2，1) T，
6、3=(6，1，0) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量，且AX=3 有解。求17 a，b 的值；18 求 Bx=0 的通解。19 已知线性方程组 问：a、b 为何值时，方程组有解，并求出方程组的通解。20 已知方程组 的一个基础解系为(b11，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2，2n )T，(b n1，b n2，b n，2n )T。试写出线性方程组 的通解，并说明理由。21 已知 45 矩阵 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 2， 3， 4， 5 均为四维列向量， 1， 2， 4 线性无关，又设 3=1 一 4， 5=1+2+4，=2 1+2 一
7、 3+4+5，求 Ax= 的通解。21 设四元齐次线性方程组 求：22 方程组(1)与(2) 的基础解系；23 (1)与(2)的公共解。24 已知齐次线性方程组 的所有解都是方程b1x1+b2x2+bnxn=0 的解。试证明线性方程组 有解。考研数学二（线性方程组）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】
8、因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 A1=b，A 2=b，那么 A(4132)=4A13A2=b，=b，可知 41 一 32， 均是 Ax=b的解。而 A(122)=一 b，A (21 2= b。可知 122， (21+2)不是Ax=b 的解。故应选 C。【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即
9、 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r(A)=2。 由方程组 Ax=0 有非零解可得，A=(a1) 2(a+2)=0，即 a=1 或一 2。当 a=1 时，r(A)=1，舍去；当 a=一 2 时，r(A)=2。所以选 B。【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是秩为 n 一 1 的凡阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1 一 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 一 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k(1 一 2)。选 D。 此题中其他
10、选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1=0，则选项 B 不正确；若 1=一 20，则1+2=0，此时选项 C 不正确。【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*0 可知，A *中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个 nl 阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r(A)n1。又因Ax=b 有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有 r(A)n，从而 r(A)=n 一1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B。【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的结构性质，易知
11、 21 一( 2+3)=(2，3，4，5) T是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C。【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 A【试题解析】 如果 是(1)的解，有 A=0，可得 ATA=AT(A)=AT0=0，即 是(2)的解。故(1)的解必是 (2)的解。反之，若 是(2)的解，有 ATA=0，用 T 左乘可得0=T0=T(ATA)=(TAT)(A)=(A)T(A)，若设 A=(b1，b 2，b n)，那么(A)T(A)=b12+b22+bn2=0 bi=0(i=1，2，n)，即 A=0，说明 是(1)的解。因此(2)的解也必是 (1)的解。所以应选 A。【知识模块】 线性方程组9 【
12、正确答案】 B【试题解析】 由题设知 nr(A)2，从而有 r(A)n 一 2，故 A*=，任意 n 维向量均是 A*x=0 的解，故正确选项是 B。【知识模块】 线性方程组二、填空题10 【正确答案】 1 且 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即A= =(5+4)( 一 1)0，所以1 且 一 。【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 2【试题解析】 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量的个数。由于 A= ，因此有 r(A)3 a=2。【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 (6，一 1，1) T
13、+k(13，一 5，一 1)T，k 为任意常数【试题解析】 一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r(A)= 3。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 =一10，所以一定有 r(A)2，因此必有 r(A)= =2。由 n 一 r(A)=32=1 可知，导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知 1 一 2=(6，一1，1) T 一(一 7，4，2) T=(13，一 5，一 1)T 是导出组 Ax=0 的非零解，即基础解系，则方程组的通解为 x=(6，一 1，1) T+k(13，一 5，一 1)T，k 为任意常数。【知识模块】
14、线性方程组13 【正确答案】 ( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T，k 为任意常数【试题解析】 由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系只含有 4 一 r(A)=1个解向量。又因为( 1+2+23)一(3 1+2)=2(3 一 1)=(0，一 4，一 6，一 8)T 是Ax=0 的解，所以其基础解系为(0，2，3，4) T，由 A(1+2+23)=A1+A2+2A3=4b，可知 (1+2+23)是方程组 Ax=b 的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T。【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 ，其中
15、 x2，y 2 是任意常数【试题解析】 矩阵可得线性方程组故 x1=2 一 x2，y 1=3 一 y2，所以 X= ，其中 x2，y 2 是任意常数。【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用 分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则 =A2T。已知方程组(1)有解，故 r(A1)= 。又由于(b 1，b 2，b m，1)不能由(a 11，a 21， ，a m1，0)，(a 12，a 22，a m2，0)，(a 1n，a 2n，a mn，0)线性表示，所以【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 将(1，一 1，1，一 1)T
16、 代入方程组可得 =。对增广矩阵作初等行变换，可得(I)当 。因为 r(A)= =24，所以方程组有无穷多解，其通解为( ，1，0，0) T+k1(1，一 3，1，0) T+k2(一 1，一 2，0，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数。()当。因 r(A)= =34，所以方程组有无穷多解，其通解为(一 1，0，0，1) T+k(2，一 1，1，一 2)T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 由 BO，且 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知，向量组 1， 2， 3 必线性相关，于是 1， 2， 3= =0，解得
17、a=3b。由 AX=3 有解可知，线性方程组 Ax=3，的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得(A， 3)=，所以 b=5，a=3b=15。【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 因为 BO，所以 r(B)1，则 3 一 r(B)2。又因为 1， 2 是 Bx=0的两个线性无关的解，故 3 一 r()2，故 r()=1 所以 1， 2 是 Bx=0 的一个基础解系，于是 Bx=0 的通解为 x=k 11+k22，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 原方程组等价于 该方程组对应的齐次方程组为选 x3，x 4，x 5 为自由未知量，令
18、，得齐次方程组的一个基础解系 令 ，得方程组的一个特解 = ，则方程组的通解为 x=+k11+k22+k33，其中k1，k 2，k 3 为任意常数。【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由题意可知，线性方程组(2)的通解为 y=c 1(a11，a 12，a 1，2n )T+c2(a21，a 22，a 2，2n )T+cn(an1，a n2，a n，2n )T， 其中 c1，c 2，c n 是任意的常数。 这是因为： 设方程组(1)和(2) 的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 ABT=O，因此 BA T=(AB)T=O， 可见 A 的 n 个行向量的转置为(2)的 n 个解向量。由于
19、 B 的秩为 n，所以(2)的解空间的维数为 2nr(B)=2n 一 n=n，又因为 A 的秩等于 2n 与(1)的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成(2)的一个基础解系。【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 由于 1， 2， 4 线性无关， 3=1 一 4， 5=1+2+4，所以 r(A)=3。 由已知条件 =21+2 一 3+4+5，从而线性方程组 Ax= 有特解 =(2，1，一1，1，1) T。 由 3=1 一 4， 5=1+2+4，可知导出组 Ax=0 的两个线性无关的解为 1=(1，0，一 1，一 1，0) T， 2=(1，
20、1，0，1，一 1)T。 由 r(A)=3，可知齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由两个线性无关的解构成，故 1， 2 为 Ax=0 的基础解系，方程组 Ax= 的通解为 x=+k 11+k22，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 求方程组(1)的基础解系：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换分别取 ，其基础解系可取为求方程(2)的基础解系：对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换 分别取 ，其基础解系可取为【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T 为(1)与(2)的公共解，用两种方法求
21、 x 的一般表达式： 将(1)的通解 x=(c1，一 c1，c 2，一 c1)T 代入(2)得 c2=一 2c1，这表明(1)的解中所有形如(c 1，一 c1，一 2c1，一 c1)T 的解也是 (2)的解，从而是(1)与(2)的公共解。因此(1)与(2) 的公共解为 x=k(1，1，2，1) T，kR。【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 由已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b2x2+bnxn=0 (2)的解，可知方程组(1) 与方程组有相同的解。故(1)的系数矩阵 A= 与(3) 的系数矩阵 B= 的秩相同，即 r(A)=r(B)。又方程组 的系数矩阵和增广矩阵分别为 =BT，由 r(A)=r(AT)，r(B)=r(B T)，所以 r(AT)=r(BT)，即方程组 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，故线性方程组 有解。【知识模块】 线性方程组
