1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 P= ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQ=O，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当 t6 时，r(Q)=1（D）当 t6 时，r(Q)=22 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关3 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初
2、等行变换为矩阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否 1， 2， 3 线性表示不能确定4 设 A=(1， 2， n)，其中 1， 2， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有 k11+k22+kmm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=（D）若 AB=O，则 B=O5 下列命题正确的是(
3、 ) （A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1+2， 2+3， n+1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆6 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m
4、)，方程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数7 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n8 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关9 设 1， 2， ， m
5、与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价二、填空题10 设 1= ， 2= ， 3= ， 4= ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A=E-T，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A 2=A 的充分必要条件是 为单位向量； (2)当 是单位
6、向量时 A 为不可逆矩阵12 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P=(1)计算 PQ；(2)证明 PQ 可逆的充分必要条件是TA-1b13 设矩阵 A 满足(2E-C -1B)AT=C-1，且 B=求矩阵 A14 设 ， 是 n 维非零列向量，A= T+T证： r(A)215 设 是 n 维单位列向量，A=E- T证明：r(A)n.16 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *)= 其中 n217 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A=T18 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明：存在常数 k，使得
7、(A *)2=kA*19 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*=A n-2A20 设 A，B 分别为 mb 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n21 设向量组() 1， 2， 3； () 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组()与向量组 ()的秩为 3，而向量组()的秩为 4 证明：向量组 1， 2， 3， 5-4 的秩为 422 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆23 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2
8、， n 线性无关的充分必要条件是24 设 1， 2， ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1，+ 2，+ t 线性无关25 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示考研数学二（线性代数）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C) 【知识
9、模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以
10、方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k12+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 1， 2，A n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而 A1，A 2，A n 线性无关
11、，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(A
12、TA)=r(A)，所以 ATA 可逆，选(D) 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 (A)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， r 的极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， r，可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r，也可由1，
13、2， r，线性表示，若 1， 2， r 不可由 1， 2， r 线性表示，则 1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)=则向量组1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (1)令 T=k，则 A2=(E-T)(E-T)=E-2T+kT，因为 为非零向量，所以 To，于是 A2=A 的充分必要条件是 k=1，而 T= 2，所以A2=A 的充要条件是 为单
14、位向量 (2)当 是单位向量时，由 A2=A 得 r(A)+r(E-A)=n，因为 E-A=TO，所以 r(E-A)1，于是 r(A)n-1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)(2)PQ=A2(b-TA-1)，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 TA-1b【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由(2E-C -1B)AT=C-1，得 AT=(2E-C-1B)-1C-1=C(2E-C-1B)-1=(2CB)-1AT=(2C-B)-1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)，而 r(T)r()=1，r( T)r(
15、)=1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+T.T，因为 为单位列向量，所以T=1，于是 A2=A由 A(E-A)=O 得 r(A)+r(E-A)n，又由 r(A)+r(E-A)，rA+(E-A)=r(E)=n，得 r(A)+r(E-A)=n因为 E-A=TO，所以 r(E-A)=r(T)=r()=1，故r(A)=n-1n【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 AA *=A*A=AE 当 r(A)=n 时， A0，因为A *= A n-1，所以A *0 ，从而 r(A*)=n； 当 r(A)=n-1 时，由于 A
16、 至少有一个 n-1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A*O，故 r(A*)1，又因为A=0，所以 AA*=AE=O ，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n-1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)=1； 当 r(A)n-1 时，由于 A 的所有 n-1 阶子式都为零，所以 A*=O，故 r(A*)=0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，令 A=，于是 A= (b1，b 2，b n)，令 =故 A=T，显然 ， 为非零向量设 A=T，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵
17、，于是 r(A)1，又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 r(A)=n-1，所以 r(A*)=1，于是 A*= (b1，b n)，其中= 为非零向量，故(A *)2= (b1 bn) (b1 bn)=kA*，其中 k=aibi【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (A *)*A*=A *E= A n-1E，当 r(A*)=n 时，r(A *)=n，A *=AA -1，则(A *)*A*=(A*)*AA -1=A n-1E，故(A *)n-2=A n-2A当r(A)=n-1 时，A=0，r(A *)=1，r(A *)*=0，即(A
18、*)*=O，原式显然成立当 r(A)n-1 时，A=0，r(A *)=0，(A *)*=O，原式也成立【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 B=(1， 2， s)，因为 AB=O，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 N-r(A)，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(b)n-r(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组() 的秩也为
19、3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组1， 2， 3 线性表示，故向量 5-4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 5-4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5-4 的秩为 4【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模
20、块】 线性代数23 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，ATA= ，r(A)=r(A TA)，向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n 或A TA0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， t 线性无关，令k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0， 1， 2， t 线性无关 k=k1=kt=0，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示 反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示，取 e1= ，e 2= ，e n= ，则 e1，e 2，e n可由 1， 2， ， n 线性表示，故 1， 2， n 的不小于 e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数
