1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一部分向量线性无关2 设矩阵 Amn,r(A)=mn,E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（A）A 通过初等行变换必可化为E m，O的形式（B） A 的任意 m 阶子式不等于零（C） A 的任意 m 个列向量必线性无关（D）非齐
2、次线性方程组 AX=b 一定有无穷多解3 设 若齐次方程组 AX=0 的任一非零解均可用 线性表示则 a=( )（A）3（B） 5（C） 3 或一 5（D）5 或-34 设 都是线性方程组 AX=0 的解向量，只要系数矩阵 A 为( )5 设 ，则( )不是 A 的特征向量（A）(一 1，1，一 1)T（B） (1，2，0) T（C） (0，1，1) T（D）(2 ，4，一 1)T6 下列矩阵中，不能相似对角化的是( )7 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） A 与 B 有相同的秩（C） A 与 B 有相同的特征向量（D）A
3、 与 B 有相同的行列式8 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似二、填空题9 设三阶矩阵 三维列向量 =(a，1，1) T已知 A 与 线性相关，则 a=_10 设向量组 线性无关，则 a，b，c 必满足关系式_11 若线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足条件_12 若矩阵 ，B 是三阶非零矩阵，满足 AB=O，则 t=_13 设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式|2A|=-48 ，则 =_14 矩阵 的非零特征值是_15 已知 有三个线性无关的特征向量，则 a=_16 若 相似，则 x=_，y=_1
4、7 已知矩阵 只有两个线性无关的特征向量，则 A 的三个特征值是_，a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设线性方程组 (1)求线性方程组(I)的通解；(2)m，n 取何值时，方程组(I)与()有公共非零解；(3)m，n取何值时，方程组(I)与( )同解19 设四元齐次线性方程组(I)为 且已知另一个四元齐次线性方程组() 的一个基础解系为 1=(2，一 1，a+2，1) T， 2=(一 1，2，4，a+8) T(1)求方程组(I)的一个基础解系；(2) 当 a 为何值时，方程组(I)与方程组()有非零公共解?20 已知 0 是 的特征值，求 a 和 A 的其他特征值及
5、线性无关的特征向量21 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，2，3，若 A 与 B 相似，求|B*+E|22 已知二次型 f=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)，通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32求参数 a 及所用的正交变换矩阵23 设 a 是整数，若矩阵 的伴随矩阵 A*的特征值是 4，一 14，一 14求正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵24 n 阶矩阵 A 满足 A2 一 2A 一 3E=O，证明 A 能相似对角化25 设 已知 A 有三个线性无关的特征向量且 =2 为矩阵 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵26 已知 (
6、1)t 取何值时，A 为正定矩阵? 为什么?(2)t 取何值时，A 与 B 等价? 为什么?(3)t 取何值时，A 与 C相似?为什么 ?(4)t 取何值时，A 与 D 合同?为什么?27 考虑二次型 f=x12+4x22+4x32+2x1x2 一 2x1x3+4x2x3，问 取何值时，f 为正定二次型?28 设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A2+2A=O已知 r(A)=2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵29 求二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2 的秩，正
7、负惯性指数 p，q考研数学二（线性代数）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 若 1， 2， s 线性无关，则 1， 2， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若 1， 2， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 线性无关，应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的任一非零解都可由 线性表示，所以 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而 r(A)=2a 一 5=一 2 或a+5=0
8、，解得 a=3 或一 5，应选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2 线性无关，所以 AX=0 的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而 r(A)1，【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 的特征值为 7，0，0，因为 r(0EA)=r(A)=2，所以 =0 对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP=B，从而 r(A)=r(B)，应选(B)
9、【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A，B 都是实对称矩阵，且特征值相同，所以 A、B 既相似又合同，应选(A) 【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 一 1【试题解析】 因为 A 与 线性相关，所以 A 与 成比例，【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 abc0【试题解析】 由 =2abc0 得 a，b ，c 满足的关系式为 abc0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a 4 一 a1+a2 一 a3【试题解析】 则方程组有解应满足的条件为 a4 一 a1+a2 一 a3=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB=O
10、 得 r(A)+r(B)3， 因为 r(B)1，所以 r(A)2， 又因为矩阵A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 一 1【试题解析】 |A|=6，由 |2A|=8|A|=一 48 得|A|=一 6，解得 =一 1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 4【试题解析】 由|EA|= =2( 一 4)=0 得 A 的特征值为1=2=0， 3=4，非零特征值为 4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 10【试题解析】 由|EA|= =( 一 1)( 一 2)2=0 得1=1， 2=3=2，因为 A 可对角化，所以 r(2EA)=
11、1，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 x=一 17，y= 一 12【试题解析】 由 A 与 B 相似得 tr(A)=tr(B)，即x+22=5，解得 x=一 17；由|A|=|B| 得一 37431y=一 2，解得 y=一 12【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1=2=3=2，a= 一 5【试题解析】 |EA|= =(-2)3=0，特征值为 1=2=3=2，因为 1=2=3=2 只有两个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1，【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 当m=一 2 或 n=3 时，两个方程组有公共的非零解(3
12、)当 m=一 2，n=3 时，两个方程组同解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 0 为 A 的特征值，所以 解得 a=1由|EA|= =( 一 2)2=0 得 1=0， 2=3=2 1=0 代入(E A)X=0， 2=3=2 代入(2E A)X=0，2=3=2 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 AB，所以 B 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，B*+E 的特征值为 7，4，3，故|B*+E|=84【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=5，由|A|=2(9
13、 一 a2)=10 得 a=2， 1=1 代入(E A)X=0， 2=2 代入(2E A)X=0，2=2 对应的线性无关的特征向量为3=5 代入(EA)X=0，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 |A*|=4(一 14)(一 14)=282，由|A*|=|A| 2 得|A|=28 或|A|=一 281=一 7 代入(EA)X=0， 2=3=2 代入(EA)X=0，【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A2 一 2A 一 3E=0 得(E+A)(3EA)=0，则 r(E+A)+r(3EA)n； 由 r(E+A)+r(3EA)r(4E)=n 得 r(E+A)+r(3EA)=n (1)
14、当 r(E+A)=n 时，A=3E 为对角阵； (2)当 r(3EA)=n 时，为对角矩阵； (3)r(E+A) n，r(3EA)n，则|E+A|=0，|3EA|=0， A 的特征值 1=一 1， 2=3 1=一 1 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(一 EA)=n 一 r(E+A)； 2=3 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(3EA) 因为 n 一 r(E+A)+n 一 r(3EA)=n，所以 A 可相似对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 1=2=2 及 1+2+3=tr(A)=10 得 3=6 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=
15、1，1=2=2 代入(EA)X=0，【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1) 得 t0，当 t0 时，因为 A 的顺序主子式都大于零，所以 A 为正定矩阵 因为 A 与 B 等价，所以 r(A)=r(B)=23，故 t=0(3)C 的特征值为1=1， 2=3， 3=5，由|EA|= =( 一 1)( 一 3)(t)=0 得 A的特征值为 1=1， 2=3， 3=t，故 t=5矩阵 A 的特征值为1=1， 2=3， 3=t，因为 A 与 D 合同，所以特征值中正、负个数一致，故 t0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 A 正定，所以 解得一21【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)令 AX=X， 由 A2+2A=O 的( 2+2)X=0，注意到 X0，则2+2=0， 解得 =0 或 =一 2 由 r(A)=2 得 1=0， 2=3=一 2 (2)A+kE 的特征值为 k，k 一 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x32x2x3，1=0， 2=3=3，则二次型的秩为 2，正惯性指数为 2，负惯性指数为 0【知识模块】 线性代数
