1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1。（B） rr 1。（C） r=r1。（D）r 与 r1 的关系依 C 而定。2 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn，必有行列式AB0。（B）当 mn，必有行列式AB=0。（C）当 nm，必有行列式AB0。（D）当 nm，必有行列式AB=0。3 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（A）r(A)=m，r(
2、B)=m。（B） r(A)=m，r(B)=n 。（C） r(A)=n，r(B)=m 。（D）r(A)=n，r(n)=n 。4 设 B 是 42 的非零矩阵，且 AB=O，则( )（A）a=1 时， B 的秩必为 2。（B） a=1 时，B 的秩必为 1。（C） a1 时，B 的秩必为 1。（D）a1 时，B 的秩必为 2。5 已知 A*是 A 的伴随矩阵，若 r(A*)=1，则 a=( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）1 或 3。二、填空题6 设(2E 一 C 一 1B)AT=C 一 1，其中 E 是四阶单位矩阵，AT 是矩阵 A 的转置矩阵，则A=_。7 设矩阵 ，则 A3 的秩为
3、_ 。8 设 r(A)=2，则 a=_。9 已知 n 阶矩阵 则 r(A2 一 A)=_。10 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 则 r(AB)=_。11 已知 则秩 r(AB+2A)=_。12 已知 且 AA*=Brr(X)=2，则a=_。13 设 B 是三阶非零矩阵，且 AB=O，则 a=_。14 已知 B 是三阶非零矩阵，且 BAT=O，则 a=_。15 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A22A 一 8E=O，则 r(4E 一 A)+r(2E+A)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j
4、行对换后得到的矩阵记为 B。16 证明 B 可逆；17 求 AB 一 1。18 设 A=(1,2,3)为三阶矩阵，且A=1 。已知 B=(2， 1，2 3)，求 B*A。18 设 问 k 为何值，可使：19 r(A)=1；20 r(A)=2；21 r(A)=3。22 设 ， 为三维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T,T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。23 设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明考研数学二（矩阵）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B=AC=EAC，其中层为
5、 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)。所以应选 C。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB=0，所以应选 B。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E，所以 r(AB)=m。又 r(AB)=mminr(A)，r(B)，即r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m。故选 A。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试
6、题解析】 当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则即 r(A)=3。由于 AB=0，A 是 34 矩阵，所以 r(A)+r(B)4。当 a=1 时，r(A)=1 ，1r(B)3。而 B 是 42 矩阵，所以 B的秩可能为 1 也可能为 2，因此选项 A、B 均不正确。当 a1 时，r(A)=3，必有r(B)=1，选项 D 不正确。所以应选 C。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 伴随矩阵秩的公式为所以 a=1 或 3 时，均有 r(A*)=1。因此应选 D。【知识模块】 矩阵二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 在等式(2EC 一 1B)AT=C 一 1 两边同
7、时左乘 C 得(2CB)A T=E。对上式两端同时取转置得 A(2CTBT)=E，则【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 故 r(A3)=1。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 0【试题解析】 对 A 作初等行变换，则有当 a=0 时，r(A)=2。【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A2 一 A=A(AE)，且矩阵 可逆，所以r(A2 一 A)=r(AE)，而 r(AE)=1，所以 r(A2 一 A)=1。【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 2【试题解析】 因为 所以矩阵 B 可逆，因此 r(AB)=r(A)=2。【知识模块】 矩阵
8、11 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，所以 r(AB+2A)=r(A)。对 A 作初等行变换，则因此可得 r(AB+2A)=2。【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 0【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此 r(AXA*)=r(x)=2=r(B)，因此可得B=0，则【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=O，则有 r(A)+r(B)3，又已知矩阵 BO，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式 A=0. 而所以【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=0 可知，r(B
9、)+r(A T)3，即 r(A)+r(B)3.又因为 B0，因此 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此于是可得【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 n【试题解析】 已知 A2 一 2A 一 8E=O，可得(4EA)(2E+A)=O ，根据矩阵秩的性质可知 r(4E 一 A)+r(2E+A)n， 同时 r(4EA)+r(2E+A)r(4E 一 A)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此 r(4EA)+r(2E+A)=n。【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对
10、换后得到的初等矩阵，则有 B=E(i，j)A，因此有 B=E(i，j)A =一A 0，所以矩阵 B可逆。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 AB -1=AE(i,j)A-1=AA-1E-1(i，j)=E -1(i，j)=E(i，j) 。【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 根据题意可知【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 对 A 作初等变换，即当 k=1 时，r(A)=1；【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 当 k=一 2 时，r(A)=2；【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 当 k1 且 k一 2 时，r(A)=3。【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 r(A)=r(
11、 T+T)r(T)+r(T)r()+r()2。【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A0，则有A *=A n-10，从而 A*可逆，即 r(A*)=n。 当 r(A)=111 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r(A*)1。 又因 r(A)=n 一 1 时，有A=0，且由 AA*=AE 知 AA*=O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A*)n， 把 r(A)=n 一 1 代入上式，得 r(A*)1。 综上所述，有 r(A*)=1。 当 r(A)n 一 2 时，A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，也就是 A*的任一元素均为零，即 A*=O，从而r(A*)=0。【知识模块】 矩阵
