1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 与矩阵 A= 相似的矩阵为 ( )2 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等3 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B（C） A，B 与同一
2、个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题4 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_5 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量6 证明 ，A 线性无关；7 若 A2+A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；7 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+28 求矩阵 A 的特征值；9 判断矩阵 A 可否对角化9 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1， 2， 3 为
3、 A 的三个不同的特征值，证明：10 AB=BA；11 存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P -1BP 同时为对角矩阵12 若 A 可逆且 AB，证明：A *B *；13 若 Ab，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP14 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 a 及 An14 设方程组 有无穷多个解， 1=为矩阵 A 的分别属于特征值 1=1， 2=-2， 3=-1 的特征向量15 求 A；16 求A *+3E16 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(-1，9，1) T17 求 A 的其他特征值与特征向量；1
4、8 求 A19 设 A= ，求 a，b 及正交矩阵 P，使得 PTAP=B20 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明： A，B 有公共的特征向量20 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若 A1=2，A 2=3，A n-1=n，A n=021 证明： 1， 2， n 线性无关；22 求 A 的特征值与特征向量23 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k1，求 A24 A= ，求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B25 设 A= ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出
5、可逆矩阵 P 及对角阵考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值；所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 A= ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如 A= ，A经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为
6、 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP= ，于是 r(A)=，故选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题4 【正确答案】 4【试题解析】 由E-A = =(+1)(-1)2=0 得 1=-1， 2=3=1因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(E-A)=1，解得 a=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 0【试题解析】 由E-A =0 得 A 的特征值为 1=-2， 2
7、=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6E-A)=1，解得 a=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，可设 k20，所以 A= ，矛盾，所以 ，A 线性无关【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 由 A2+A-6=0，得(A 2+A-6E)=0， 因为 0，所以 r(A2+A-6E)2，从而A 2+A-6E=0，即 3E+A .2E-A =0 ，则3E+A=0 或2
8、E-A=0 若3E+A0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2E-A)=0 ，得 (2E-A)=0，即A=2，矛盾； 若2E-A0，则 2E-A 可逆，由(2E-A)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=-3，矛盾，所以有 3E+A=0 且2E-A=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值-3，2，故 A 可对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30，由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值 1=2； 又由 A(1-2)=-(1-2)，A( 2-3)=- (2-3)
9、，得 A 的另一个特征值为 2=-1.因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1-2 与 2-3 也线性无关，所以 2=-1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，-1，-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 因为 1-2， 2-3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 由 AB=A-B 得 A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，即 E-B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故 AB=BA
10、【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设A 的三个线性无关的特征向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，BA( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，AB( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3) diag(1， 2， 3)，于是有 ABi=ABi，i=1，2，3 若 Bi0，则Bi 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi=ii； 若 Bi=0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种
11、情况，B 都可以对角化，而且 i是 B 的特征向量，因此，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP，P -1BP 同为对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A ，B 的特征值相同且A= B 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B， 而A*=AA -1，B *=BB -1， 于是由 P-1AP=B，得(P -1AP)-1=B-1，即 P-1A-1P=B-1， 故 P-1 AA -1P=AB -1 或 P-1A*P=B*，于是 A*B *【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 因为 AB，所以存在可逆
12、阵 P，使得 P-1AP=B，即 AP=PB， 于是 AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故 APBP 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 由E-A= =0，得 1=2=1， 3=2E-A=因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以A 一定可对角化，从而 r(E-A)=1，即 a=1，故 A= 由 =1时，由(E-A)X=0，得 3= 由 =2时，由(2E-A)X=0，得 3= 令 P=(1， 2， 3)=，两边 n 次幂得 P-1AnP= 从而 An【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以
13、 D= =a2-2a+1=0，解得 a=1令 P(1， 2， 3)=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 A=2，A *对应的特征值为 ，即 2，-1，-2，A *+3E 对应的特征值为 5，2，1，所以A *+3E=10 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有特征值 2=5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模
14、块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 令 P=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A =B，即 ，解得 a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵A，B 的特征值都为 1=1， 2=0， 3=6当 =1时，由(E-A)X=0，得 1= 当 =0时，由(0E-A)X=0，得 2= 当 =6时，由(6E-A)X=0 ，得 3=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0为 A，B 公共的特征值， A 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 AX=0
15、的非零解； B 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解，因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 令 x11+x22+xnn=0，则xA+xA+xA=0= x12+x23+xn-1n=0x1A2+x2A3+xn-1An=0 x13+x24+xx-2n=0 x1n=0 因为 n0，所以 x1=0，反推可得x2=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 A( 1， 2， n)=(1， 2， n) ，
16、令P=(1， 2， n)，则 P-1AP= =B，则 A 与 B 相似，由E-B =0 1= n=0，即 A 的特征值全为零，又 r(A)=n-1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 A ，即 A 有一个特征值为 1=5，其对应的特征向量为 1= ，A 1=51又 AX=0 的通解为 k12=3=0，其对应的特征向量为2= ，A 2=0，A 3=0令 x11+x22+x33=，解得 x1=8，x 2=-1，x 3=-2
17、， 则 A=8A1-A2-2A3=8A1=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由E-B=0，得 1=-1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2 由 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由A=b= 123=-2，得 b=-2，即 A= 由(-E-A)X=0，得 1=(1，1，0) T；由(E-A)X=0，得2=(-2，1，1) T；由(2E-A)X=0，得 3=(-2，1，0) T，令 P1=由(-E-B)X=0，得 1=(-1，0，1) T；由(E-B)X=0，得 2=(1，0，0) T；由(2E-B)X=0，得 3=(8，3
18、，4) T，令 P2=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 E-A = =(+a-1)(-a)(-a-1)=0，得矩阵 A的特征值为 1=1-a， 2=a， 3=1+a(1)当 1-aa，1-a1+a，a1+a，即 a0且 a时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1=1-a 时，由(1-a)E-AX=0 得 1= ； 2=a 时，由(aE-A)X=0 得 2= ； 3=1+a 时，由(1+a)E-AX=0 得3= (2)当 a=0 时，1=3=1，因为 r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化(3)当 a=的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
