1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32，- 3， 21)，则 P-1AP 等于( )2 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特
2、征值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值二、填空题4 设 A= ， A0 且 A*的特征值为-1，-2，2，则a11+a22+a33=_5 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2= ，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P=(23，-3 1，- 2)，则 P-1(A-1+2E)P=_6 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3
3、 满足_7 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且A1=1+2，A 2=2+3，A 3=3+1，则A=_8 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2=(a，1，1-a) T是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2=A，r(A)=r求5E+A9 设 A= 相似于对角阵求：10 a 及可逆阵 P，使得 P-1AP=A，其中 A 为对角阵11 A10012 设 A= 有三个线性无关的特征向量，且 =2 为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使
4、得 P-1AP 为对角矩阵13 设 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201013 设 A= ，方程组 AX= 有解但不唯一14 求 a；15 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角阵；16 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵16 设矩阵 A=17 若 A 有一个特征值为 3，求 a；18 求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵18 设矩阵 A= 为 A*对应的特征向量19 求 a，b 及 对应的 A*的特征值；20 判断 A 可否对角化20 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且 A1=-1+22+23，A 2=21-2
5、-23，A 3=21-22-321 求矩阵 A 的全部特征值；22 求A *+2E23 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)2-4E 的特征值为0，5，32求 A-1 的特征值并判断 A-1 是否可对角化23 设 A= 的一个特征值为 1=2，其对应的特征向量为 1=24 求常数 a， b，c ；25 判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 3
6、2， -3，2 1 也是特征值 1，2，-1 的特征向量，所以 P-1AP=，选(C) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 令 A= ，显然 A，B 有相同的特征值，而 r(A)r(B)，所以(A) ，(B)，(C)都不对，选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则E+A=0，于是-1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为-1，则 ，根据特征值特征向量的定义，-1 为 A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=E(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是XTATAX=2XTX，即
7、( 2-1)XTX=0，而 XTX0，故 2=1，再由特征值之积为负得-1为 A 的特征值，选(A) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题4 【正确答案】 -2【试题解析】 因为A *=A 2=4，且A0，所以A =2，又AA*=AE=2E，所以 A-1= ，从而 A-1 的特征值为 ，-1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为-2，-1， 1，于是 a11+a22+a33=-2-1+1=-2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 【试题解析】 P -1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，而 P-1A-1P=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6
8、 【正确答案】 【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x3A2(1+2+3)=0，即，因为 x1，x 2，x 3 只能全为零，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP=(A1，A 2，A 3)=(1， 2， 3)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=-1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a，-a，1) T， 2=(a，1，1
9、-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 =a2-a+1-a=0，解得a=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 因为 A2=A A 可以对角化由 A2=A，得A .E-A =0，所以矩阵 A 的特征值为 0，1因为r(A)=r，所以 =1 为 r 重特征值，=0 为，n-r 重特征值，所以 5E+A 的特征值为=6(r 重) ，=5(n-r 重) ，故5E+A =5 n-r6r【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 E-A =0 1=2=1， 3=-1因为 A 相似于对角阵，
10、所以 r(E-A)= (E-A)X=0 基础解系为 1=(0，1，0)T， 2=(1，0，1) T，(-E-A)X=0 基础解系为 3=(1，2，-1) T，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP=diag(1，1，-1)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 P -1A100P=E A100=PP-1=E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1，而 2E-A=，所以 x=2，y=-2由E-A =(-2)2-6)=0 得 1=2=2， 3=6 由(2E-A)X=
11、0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1=2=1， 3=4=-1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 r(E-A)=于是 a=0，b=0当 =1 时，由(E-A)X=0 得 1= 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 得 3=所以 P-1A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 因为方程组 AX= 有解但不唯
12、一，所以 A=0，从而 a=-2 或a=1当 a=-2 时，=23，方程组有无穷多解；当 a=1 时，方程组无解，故 a=-2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 由E-A=(+3)(-3)=0 得 1=0， 2=3， 3=-3由(0E-A)X=0得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(3E-A)X=0 得 2=3 对应的线性无关的特征向量为 2= 由(-3E-A)X=0 得 3=-3 对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 令 =【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案
13、】 E-A =(-1) 2-(a+2)+2a-1，把 =3 代入上式得 a=2，于是A=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 由E-A 2=0 得 A2 的特征值为 1=2=3=1， 4=9当 =1 时，由(E-A 2)X=0 得 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0，-1，1) T；当 =9时，由(9E-A 2)X=0 得 =(0，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=令 P=(1， 2， 3， 4)=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和
14、特征向量19 【正确答案】 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=1，则有A =12，设 A 的另外两个特征值为 2， 3，由 得 2=3=2 对应的 A*的特征值为=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 2E-A= ，因为 r(2E-A)=2，所以 2=3=2 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2， 3 线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故 A =B 由E-A=E-B=(+5)(-1) 2=0，得 A
15、的特征值为-5，1，1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 因为A=-5，所以 A2 的特征值为 1，-5，-5，故 A*+2E 的特征值为 3，-3 ，-3 从而A *+2E=27【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B=(A*)2-4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9，36 ，于是 A*的三个特征值为2，3，6 又因为A *=36=A 3-1，所以A =6由=6，得 1=3， 2=2， 3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A-1 的特征值为 1， 因为 A-1 的特征值都是单值，所以 A-1 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由 A1=21，得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 由E-A= =0，得 1=2=2， 3=1由(2E-A)X=0，得 1= ，由(-E-A)X=0，得 3= 显然 A 可对角化，令 P=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
