1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)（D）AB 的充分必要条件是 EAE B2 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )（A）（B）（C） A（D）A n-13 设三阶矩阵 A 的特征值为 11， 20， 31，则下列结论不正确的是(
2、)（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1， 2，又 2 为 A 的一个特征值其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1 3（B） 33 1（C） 12 23 3（D）2 13 2二、填空题5 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，1，则 4A*3E_6 设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0，则(A *)23A *2E 有特征值_7 设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值_，
3、对应的特征向量为_8 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求矩阵 A 的特征值与特征向量10 设 A ， 为 A 的特征向量 (1)求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量 (2)A 可否对角化 ?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵11 设 A ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化12 设 A ，BA *，求 B2E 的特征值13 设 ATAE，证明：A 的实特征值的绝对值为 114 设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A2，A 22
4、A3E的特征值； (3)若A0，求 A-1，A *，EA -1 的特征值15 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1X 2 不是A 的特征向量16 ， T aibi0，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化17 设向量 (a 1，a 2，a n)T，其中 a0，A T (1) 求方程组 AX0 的通解；(2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量18 设 ，A T，求6EA n19 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 11， 22， 33，其对应的线性无关的特征向量分别为 ， 向量 ，求 An20 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特
5、征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由21 设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA；(2)若 A 有特征值 1，2， ，n，证明：ABBA 22 设 为 n 维非零列向量，AE T (1)证明：A 可逆并求 A-1； (2)证明： 为矩阵 A 的特征向量23 设矩阵 A 有一个特征值为 3 (1)求 y； (2)求可逆矩阵 P，使得(AP) T(AP)为对角矩阵考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
6、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1APB， 于是 P-1(EA)PEP -1APE B ，即 EAEB； 反之，若 EA EB，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1(EA)PEB ， 整理得 EP -1APE B ，即 P-1APB，即 AB，应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AXX，则 A*AXA *X，从而有A*X ，选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 由 11 ， 20， 31 得A0，则 r(A)3，即 A 不可
7、逆，A 正确；又 1 2 3tr(A)0，所以 B 正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)2，从而 AX0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，D 是正确的； C 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX0 有非零解，所以 r(A) n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值。若1 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1 3)
8、0(1 3)，注意到A(1 3)0 12 32 3，故2 3 0(1 3)或 01( 02) 30，因为1， 3 线性无关，所以有 00， 020，矛盾，故 1 3 不是特征向量，同理可证 33 1 及 12 23 3 也不是特征向量，显然 213 2 为特征值 0 对应的特征向量，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 10【试题解析】 A ，A *的特征值为 ，4A *3E 的特征值为5，1，2，于是4A *3E10【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 ，于是(A *)23A *2
9、E 对应的特征值为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 4； 【试题解析】 因为 A 的各行元素之和为 4，所以 ，于是 A 有特征值 4，对应的特征向量为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有63a36a0，a3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由E A( 1) 2(4)0 得 1 21， 34 当 1 时，由(EA)X0 得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为全部特征向量为 k11k 22(k1，k 2 不同时为 0)
10、； 当 4 时，由(4EA)X0 得属于特征值 4 的线性无关的特征向量为3 ，全部特征向量为 k3(k0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 (1)由 A 得 解得a1，b1， 3 由E A (2)(3)0得 10， 22， 33 (2)因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化 将 10 代入(EA)X0 得 10 对应的线性无关特征向量为 1 ； 将22 代入(EA)X0 得 22 对应的线性无关特征向量为 2 ； 将33 代入(EA)X0 得 33 对应的线性无关特征向量为 3 ； 令 P，则 P-1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】
11、 由E A (2) 30 得 2(三重)， 因为 r(2EA)1，所以 2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 A 7， 由EA (7)(1) 20 得17， 2 31，A *对应的特征值为 即11， 2 37 因为 BA *所 B 的特征值为 11， 2 37，从而 B2E的特征值为 399【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 设 AXX，则 XTAT2X T，从而有XTATAXX TAX 2XTX，因为 ATAE，所以( 21)X TX0，而XTXX 20，所以 21，于是1【知识模块】 矩阵的特征值和特
12、征向量14 【正确答案】 (1)因为EA T(EA) TEA，所以 AT 与 A的特征值相等 (2)因为 A 0(0)， 所以 A2 0Aa 02，(A 22A 3E)( 022 03) ， 于是 A2，A 22A3E 的特征值分别为 02， 022 03 (3)因为A 12 n0，所以 00，由 A 0 得 A-1 ， 由A*AA 得 A* ，又(EA -1)(1 )， 于是 A-1，A *，EA -1的特征值分别为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 反证法 不妨设 X1X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1X 2) (X1X 2)， 因为 AX1 1X
13、1，AX 2 2X2，所以( 1)X 1( 2)X20， 而 X1，X 2 线性无关，于是 1 2，矛盾，故 X1X 2 不是 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 令 T k，则 A2kA ， 设 AXAX，则 A2X 2XkX，即(k)X， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 0 或 k 由1 ntr(A)且 tr(A)k 得 1 n-10， nk 因为 rCA)1，所以方程组(0EA)X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，即 0 有 n1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 因为 r(
14、A)1，所以 AX0 的基础解系含有 n1 个线性无关的特征向量，其基础解系为则方程组 AX0 的通解为 k11k 22k n-1n-1(k1，k 2，k n-1 为任意常数) (2)因为 A2kA，其中 k( ，) ai20，所以 A 的非零特征值为 k， 因为A Tk，所以非零特征值志对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 A T，由EA 2(2)0 得 1 20， 32， 因为6EA n 的特征值为 6，6，62 n，所以6EA n6 2(62 n)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 令 11 22 33，解得 1 2， 2
15、2， 31，则 An2A n12A n2A n3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 由 AXX 得 A2XA(AX)A(X)AX 2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量 若 A2XX，其中 A ，A 2O ，A 2 的特征值为0， 取 X ，显然 A2X0X，但 AX 0X，即 X 不是 A的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 (1)一般情况下，AB 与 BA 不相似，如因为 r(AB)r(BA)，所以 AB 与 BA 不相似 (2)因为An!0，所以 A 为可逆矩阵，取 PA，则有 P-1ABPBA， 故 ABBA【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 (1)因为 A2E， 所以 A 可逆且 A-1A (2)因为 A(E T)2 ，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 (1)因为 3 为 A 的特征值，所以 3EA0，解得 y2 (2)(AP)T(AP)P TATAPP TA2P， A 2 令A1 ，EA 1 0 得 11， 29， 当 1 时，由(E A 1)X0 得1 ；9 时，由 (9EA 1)X0 得 2 ， 单位化得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
