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    [考研类试卷]考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷5及答案与解析.doc

    • 资源ID:843376       资源大小:456.50KB        全文页数:15页
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    5、试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。

    [考研类试卷]考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷5及答案与解析.doc

    1、考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 “f(x)在点 a 连续”是f(x) 在点 a 处连续的( )条件(A)必要非充分(B)充分非必要(C)充要(D)既非充分又非必要2 设 f(x),g(x) 在 x=x0 均不连续,则在 x=x0 处(A)f(x)+g(x),f(x).g(x)均不连续(B) f(x)+g(x)不连续,f(x)g(x)的连续性不确定(C) f(x)+g(x)的连续性不确定,f(x)g(x)不连续(D)f(x)+g(x),f(x)g(x)的连续性均不确定3 把当 x0 +时的无穷小量

    2、=tanxx,= 0x(1 )dt,= 1 排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A),(B) , (C) , (D),二、填空题4 设有定义在(,+)上的函数:则()其中在定义域上连续的函数是_;()以 x=0 为第二类间断点的函数是_5 设 =_6 1+x2 当 x0 时是 x 的_阶无穷小(填数字)7 若 =3,则 =_8 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)= 又 a0,问 a 为何值时 存在10 求11 求 =12 求下列极限13 求数列极限:() (M0 为常数);( )设数列x n有界,求14 设 x1=2, xn+1=

    3、2+ ,n=1 ,2,求15 设 f(x)= ,()若 f(x)处处连续,求 a,b 的值;() 若 a,b不是( )中求出的值时 f(x)有何间断点,并指出它的类型16 求极限 =17 求18 已知 =2,求 a,b 之值19 证明 cosnxdx=020 求数列极限 ,其中 xn=ne(1+ )n 1 21 设 f(x)在( ,+)连续,存在极限 证明:()设AB,则对 (A,B), (,+),使得 F()=;()f(x) 在( ,+)有界22 设 xn+1=ln(1+xn),x 10,23 设 =0,试确定常数 a,b 的值24 设 0x 01,x n+1=xn(2x n),求证:x n

    4、收敛并求25 设 ,且 f(x)f *(x),g(x)g *(x)(xa)() 当 xa 时 f(x)与 g(x)可比较,不等价,求证:f(x)g(x)f *(x)g *(x)(xa);()当0xa 时 f(x)与 f*(x)均为正值,求证: (其中一端极限存在,则另端极限也存在且相等)26 设 f(x)在a,b连续,且 xa,b,总 ya,b,使得f(y) f(x)试证: a,b,使得 f()=027 设 f(x)在0,+)连续, =A0,证明: 01f(nx)dx=A考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

    5、1 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在 x=a 连续=f(x)在 x=a 连续(f(x)f(a) f(x)f(a) f(x)在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续如 f(x)= f(x)=1,f(x) 在 x=a 连续,但 f(x)在 x=a 间断 因此,选B【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 D【试题解析】 如: 在 x=0 均不连续,但 f(x)+g(x)=1,f(x).g(x)=0 在 x=0 均连续又如:在 x=0 均不连续,而在 x=0 均不连续因此选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 C【试题解析】 即当 x0 +时 是比 高阶

    6、的无穷小量, 与 应排列为 ,故可排除 A 与 D即当 x0 +时 是较 高阶的无穷小量, 与 应排列为 ,可排除 B,即应选C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、填空题4 【正确答案】 B;D【试题解析】 () 当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同,故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意到若 f(x)= 其中 g(x)在(,0连续,h(x)在0,+)连续因 f(x)=g(x)(x(,0)=f(x)在x=0 左连续若又有 g(0)=h(0)=f(x)=h(x)(x0,+) =f(x)在 x=0 右连续因此f(x)在 x=0 连续 B 中的函数 g(x)满足:

    7、sinx x=0=(cosx1) x=0,又sinx,cosx 1 均连续=g(x) 在 x=0 连续因此,B 中的 g(x)在(,+)连续应选 B ()关于 A:由 =x=0是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点 )关于(C):由=x=0 是 h(x)的第一类间断点(可去间断点)已证 B 中 g(x)在 x=0 连续因此选 D或直接考察 D由=x=0 是 m(x)的第二类间断点【知识模块】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】 12【试题解析】 由题设及现利用等价无穷小因子替换【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 4【试题解析】 由于因此当 x0 时 1+x2 是 x

    8、的 4 阶无穷小【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时, 1,于是有而 =0,故由夹逼定理可知=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 分别求右、左极限 f(0+0)与 f(00),由 f(0+0)=f(00)定出 a 值由 f(0+0)=f(0 0),得 a=因此,当且仅当 a= 时,存在 =【知识模块】 极限、连续与求极限的方法10 【正确答案】 这是求 型极限,用相消法,分子、分母同除以(e x)2 得

    9、=02=0其中 =0(用洛必达法则)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 属 型先作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换:x0 时最后用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 () 注意:【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 () 存在自然数 k,kM,使 1 ,当nk 时,有 即当 nk 时,有 0 是常数,且 =0,由夹逼定理知 =0()由于x n有界,故 M0,对一切 n 有x nM于是 0 ,由题()的结论及夹逼定理知【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 令 f(x)=2+ ,则 xn+1=f(xn

    10、)显然 f(x)在 x0 单调下降,因而由上面的结论可知x n不具单调性易知, 2xn 设 =n,则由递归方程得a=2+ ,即 a22a1=0,解得 a= ,则由 a2 知a= +12现考察x n+1a= 因此,【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 () 首先求出 f(x)注意到 故要分段求出 f(x)的表达式当x1 时,f(x)= 当x1时,f(x)= =ax2+bx于是得 其次,由初等函数的连续性知 f(x)分别在( ,1),(1,1),(1,+)上连续最后,只需考察 f(x)在分界点 x=1 处的连续性这就要按定义考察连续性,分别计算:从而f(x)在 x=1 连续 (

    11、1+0)=f(10)=f(1)a+b=1= (a+b+1)a+b=1:f(x) 在 x=1 连续 (1+0)=f( 10)=f( 1)ab=1= (ab1)a b=1因此 f(x)在 x=1 均连续a=0,b=1当且仅当 a=0,b=1 时 f(x)处处连续()当(a,b)(0,1)时,若 a+b=1(则 ab1),则 x=1 是连续点,只有 x=1 是间断点,且是第一类间断点;若 ab=1( 则 a+b1),则 x=1 是连续点,只有间断点 x=1,且是第一类间断点;若 a b1 目 a+b1,则 x=1,x=1 均是第一类间断点。【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 属

    12、.0 型可化为 型后作变量替换,接着再用洛必达法则求极限【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 属 型先用等价无穷小关系 arctan4xx 4(x0)化简分母后再用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 原式可改写成 =2由于该式成立,所以必有 3 =0,即 a=9将 a=9 代入原式,并有理化得由此得 b=12 故 a=9,b=12【试题解析】 像这种类型(-) 的极限,已知此待定式的极限存在且等于某一常数,要确定极限式中的参数 a,b,一般有下列两种方法:方法 1 直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值;方法 2。先提出因子,将-型

    13、化为.0 型,然后由极限存在的条件定出极限式中所含参数之值【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 先对积分 a1 cosnxdx 建立估计式然后证明它的极限为零,这里可行的方法是先对原积分进行分部积分【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 先用等价无穷小因子替换:于是现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 利用极限的性质转化为有界区间的情形()由 =A及极限的不等式性质可知, X1 使得 f(X1) 由 =B 可知, X2X 1使得 f(X2)因 f(x)在X 1,X 2连续,F(X 1) f(X2)

    14、,由连续函数介值定理知(,+),使得 F()=()因 ,由存在极限的函数的局部有界性定理可知, X1 使得当 x(,X 1)时 f(x)有界;X2( X1)使得当 x(X2,+)时 f(x)有界又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知,f(x)在X 1,X 2上有界因此 f(x)在( ,+)上有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 () 注意:xln(1+x) (x0),于是 xn+1x n=ln(1+xn)x n0 (n=1,2,3,) =x n有下界 0= 极限=a=ln(1+a)又 a0 时 aln(1+a) ,故 a=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23

    15、【正确答案】 由题设知利用(*),一方面有另一方面,直接计算又有这表明 3+a=0a=3将 a=3 代入(*) 式,即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 令 f(x)=x(2x),则 xn+1=f(xn)易知 f(x)=2(1x)0,x(0,1) 因 0x 01=x 1=x0(2x 0)=1(x 01) (0,1) 若 xn(0,1)=xn+1+1=xn(2x n)(0,1)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 () 考察极限因此,f(x)g(x) f *(x)g *(x)(xa)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 反证法若在a,b 上 f(x)处处不为零,则 f(x)在a,b上或恒正或恒负不失一般性,设 f(x)0,x a,b,则 由题设,对此 x0, ya,b,使得 f(y)=f(y) f(x 0),与 f(x0)是最小值矛盾因此, a,b,使 f()=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法27 【正确答案】 先作变量替换: 这是 型数列极限将它转化为 型函数极限,便可用洛必达法则求之,即【知识模块】 极限、连续与求极限的方法


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