1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 6y+8y=ex+e2x 的一个特解应具有形式( 其中 a，b 为常数) ( )（A）ax x+be2x（B） axx+bxe2x（C） axex+be2x（D）axe x+bxe2x2 微分方程 y“+2y+2y=e 一 xsin x 的特解形式为 ( )（A）e 一 x(Acos x+Bsin x)（B） e 一 x(Acos x+Bxsin x)（C） xe 一 x(Acos x+Bsin x)（D）e 一 x(Axcos x+Bsin x)3 微分方程 y
2、+ =0 的通解是 ( )4 微分方程 y“一 4y+4y=x2+8e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，c ，d 为常数)( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cxe2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x5 微分方程 y“+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数)( )二、填空题6 微分方程 +6y=0 的通解是_7 微分方程 +y=1 的通解是_8 微分方程的通解_包含了所有的解9 微分方程(y 2+1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是_ 10 设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线
3、性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_11 微分方程 y“一 7y=(x 一 1)2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_。12 以 y=cos 2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_13 微分方程 =0 的通解是_14 微分方程(1 一 xx)yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求微分方程 y“+2y+y=xex 的通解16 求微分方程 y“+4y+4y=e 一 2x 的通解17 求微分方程 y“+2y一 3y=e 一 3x 的通解18 求微分方程 y“
4、+5y+6y=2e 一 x 的通解19 求微分方程(3x x+2xy 一 yx)dx+(x2 一 2xy)dy=0 的通解20 设 y(x)是方程 y(4)一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求y(x)21 求一个以 y1=tet，y 2=sin 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解22 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：(1)不计钉子对链条的摩擦力；(2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力23 从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油
5、，在海面上逐渐扩散形成油层设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变已知其厚度 h 的减少率与 h3 成正比，试证明：其半径 r 的增加率与 r3 成反比24 汽艇以 27(kmh) 的速度，在静止的海面上行驶，现在突然关闭其动力系统，它就在静止的海面上作直线滑行设已知水对汽艇运动的阻力与汽艇运动的速度成正比，并已知在关闭其动力后 20(s)汽艇的速度降为了 108(km h)试问它最多能滑行多远?25 求解 y“=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=2 26 求方程 =(1 一 y2)tan x 的通解以及满足 y(0)=2 的特解27 求微分方程(y+
6、)dx=xdy 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解28 求方程 2x y=一 x2 的通解考研数学二（微分方程）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由原方程对应齐次方程的特征方程 r2 一 6r+8=0 得特征根r1=2，r 2=4又 f1(x)=ex， =1 非特征根，对应特解为 y1*=aex；f 2(x)=e2x，=2 为特征单根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程特解的形式为 aex+bxe2x，即选(B) 【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+2r+2=0 即
7、(r+1) 2=一 1，特征根为 r1,2=一 1i，而 iw=一 1i 是特征根，特解 y*=xe 一 x(Acos x+Bsin x)【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 yy+ +e3xdx=0积分得 2e 3x一 =C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r2 一 4r+4=0，特征根是 r1,2=2而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y1*=ax2+bx+c又 f2=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以 y2*=dx2e2xy 1*与y2*合起来就是特解，选(B)【知识模块】 微分方程5 【正
8、确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为 r1,2=【知识模块】 微分方程二、填空题6 【正确答案】 y=C 1e3x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为 r2 一5r+6=0，即(r 一 3)(r 一 2)=0解出特征根 r1=3，r 2=2，即得上述通解【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数线性非齐次微分方程其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y *是非齐次方程的一个特解 因原
9、方程对应齐次方程的特征方程为 r2 一 2r+1=0，即(r 一 1)2=0，特征根为 r1，2 =1故 y 齐 =(C1+C2x)ex，其中 C1， C2 为任意常数又据观察，显然 y*=1 与 y 齐 合并即得原方程通解【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y 2 一 1)dx=(x 一 1)ydy，经分离变量有 积分得通解 y2 一 1=C(x 一 1)2，但显然方程的全部解还应包括 y=1 和 x=1(实际上在分离变量时假定了 y2 一 10，x 一 10)【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微分方程
10、10 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得 (y 1+y2)+P(x)(1+y2)=(+)Q(x) 又因 y1+y2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=1【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r27r=0，特征根为r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 一 2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 y“+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos 2x+sin 2x 知特征根为 r1,2=2i，特征
11、方程是 r2+4=0，其对应方程即 y“+4y=0【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 y=C 1+C2+C3x2+C4e 一 3x，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【试题解析】 特征方程 r4+3r3=0，即 r3(r+3)=0故通解如上【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 y=【试题解析】 【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r2=r2=一 1对应齐次方程之通解为 Y=(C1+C2x)e 一 x设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则 y *=(x+a+b)ex，
12、y *“=一(ax+2a+b)ex，【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 特征方程 r2+4r+4=0 的根为 r1=r2=一 2对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e 一 2x设原方程的特解 y*=Ax2e 一 2x，代入原方程得 A= 因此，原方程的通解为 y=Y+y *=(C1+C2x)e 一 2x+ e 一 2x【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 对应的齐次方程的通解为 =C2ex+C2e 一 3x原方程的一个特解为y*=Axe 一 3x，代入原方程，得【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r 2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根
13、为 r1=一 2，r 2=一 3于是，对应齐次微分方程的通解为 (x)=C1e 一 2x+C2e 一 3x设所给非齐次方程的特解为 y*=Ae 一 x将 y*代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=e 一 x从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C 1e 一 2x+C2e 一 3x+e 一 x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 原方程化为 3x2dx+(2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy=0，即 d(x 3)+d(x2yxy2)=0， 故通解为 x3+x2yxy2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程20 【正确答案】
14、由泰勒公式 y(x)=y(0)+y(0)x+ y“(0)x3+o(x3) (x0) 当 x0 时，y(x) 与 x2 同阶，即有 y(0)=0，y(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y(4)一 y“=0 两边积分得 0xy(4)(t)dt0xy“(t)dt=0，即 y“(x)一 Cy(x)=0，两边再积分得 y“(x)一 y(x)=Cx 易知，它有特解y*=一 Cx，因此它的通解是 y=C1ex+C2e 一 x 一 Cx 由初值 y(0)=0，y(0)=0 得 C1+C2=0，C 1 一 C2=C，即 C1= 因此最后得 y= (exe 一
15、 x)一 xC，其中 C 为任意非零常数【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 为其解，由 y2=sin 2t 可得 y4=cos 2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1=3=1， 2=2i， 4=一 2i其特征方程为 ( 一 1)2(2+4)=0，即 4 一 23+52 一 8+4=0 故所求的微分方程为 y(4)一 2y“+5y“一8y+4y=0，其通解为 y=(C 1+C2t)et+C3cos 2t+C1 sin 2t，其中 C1，C 2，C 4，C 4 为任意常数【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 (1)在时刻 t 时，链条下滑路程
16、为 x(t)m，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律 F=ma，得 20(x+2)及初值条件 x(0)=0，x(0)=0 ，解方程得【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 把 V=rh 看作隐式方程，两边同时对 t 求导【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 设汽艇的质量为 m kg，关闭动力后 t s，汽艇滑行了 x m，根据牛顿第二运动定律，有【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 p2=e2y+2ey+C，即 y 2=e2y+2ey+C 又 y(0)=0，y(0)=2 ，有 C=1，所以 y 2=e2y+2ey+1=(ey+1)2， y=e y+1(y(0)=20)，【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得这就是在条件 y21 下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 令 y=ux，原方程化为其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 y= (x2 一 1)【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 【知识模块】 微分方程
