1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 y=C1ex +C2e-2x +xex 满足的一个微分方程是（A）y“-y-2y=3xe x （B） y“-y-2y=3ex （C） y“+y-2y=3xex （D）y“+y-2y=3e x 2 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y * =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y * =ax2+bx+c+Acosx3 设 f(x)
2、是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数4 已知 y=x/lnx 是微分方程 y=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为（A）-y 2/x2（B） y2/x2（C） -x2/y2（D）x 2/y25 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1
3、/2,=1/2（B） =-1/2,=-1/2（C） =2/3,=1/3（D）=2/3,=2/36 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点二、填空题7 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为_.8 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设函数 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)且 f(0)=0，g(
4、0)=2，求10 求微分方程 xdy+(x-2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线x=1，x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小11 设函数 y=y(x)由参数方程 确定。其中 x(t)是初值问题12 设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“-y+2=0当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积13 设 y=y(x)是区间 (-，)内过点 的光滑曲线当-14 15 16 已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=
5、xex+e2x-e-x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程考研数学二（常微分方程）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程二、填空题7 【正确答案】 C 1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C 1ex+C2e3x+2ex【知识模块】
6、常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 由 e-x， e2x 是齐次解，可知，r 1=-1,r2=-2 是特征方程的两个根，特征方程可转化为(r+1)(r-2)=0 即 r2-r-2=0,起相应的微分方程为 y“-y-2y=0 设 y“-y-2y=f(x) 把 xex 代入，得 f(x)=（xe x）“-（xe x）-2（xe x）=(1-2x)e x 所以 y“-y-2y=(1-2x)ex【知识模块】 常微分方程
