1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 uf(y，z)有二阶连续的偏导数，则 ( )（A）f 2f 11(z)f 12zf 22（B） f 12 zf 22（C） f2f 12zf 22（D）zf 222 函数 zf(，y)在点( 0，y 0)可偏导是函数 zf(，y)在点( 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件3 设可微函数 f(，y)在点( 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f( 0，y)在 yy 0 处导数为零（B） f(0
2、，y)在 yy 0 处导数大于零（C） f(0，y)在 yy 0 处导数小于零（D）f( 0，y)在 yy 0 处导数不存在二、填空题4 设 zf( 2y 2， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 _5 设 zyf( )，其中 f(u)可导，则 _6 设 zf( 2y 2z 2，yz)且 f 一阶连续可偏导，则 _7 设 yy(，z)是由方程 eyz 2y 2z 2 确定的隐函数，则 _8 设 zf(，y)是由 e2yzy 2z 确定的函数，则 _9 设 yy()由 0 确定，则 _10 设 zz(，y)由 ze zy 2 确定，则 dz_11 设 zf(y，yz，z) ，其中 f
3、连续可偏导，则 _12 设 zyf( )，其中 f 可导，则 _13 由方程 yz 确定的隐函数 zz(，y)在点(1，0，1)处的微分为 dz_ 14 设 f(，y，z)e yz2，其中 zz(，y)是由 yzyz0 确定的隐函数，则f(0，1，1)_15 设 f(，y)可微，且 f1(1，3)2，f 2(1，3)1，令 zf(2y， )，则dz (1， 3)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 yf(z)yg(z)，且 f(z)yg(z)0 ，其中 zz( ，y)是 ，y 的函数证明： g(z) yf(z)17 设 zf(，y)由方程 zye zy 0 确定，求 d
4、z18 设 uf(，y，z)有连续的偏导数，yy(z) ，zz()分别由方程 eyy0 与ez z0 确定，求19 设 yy()，zz()是由方程 zf( y)和 F(，y，z)0 所确定的函数，其中f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求20 (1)设 yf(，t)，其中 t 是由 G(，y，t)0 确定的 ，y 的函数，且 f(，t)，G(，y，t)一阶连续可偏导，求 (2)设 zz(，y)由方程zlnz 1 确定，求21 设 F(z ，y )0 且 F 可微，证明： z y22 设变换 可把方程 0，简化为0，求常数 a23 设 zf(y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二
5、阶可导，求24 (1)设 f(y，y) 2y 2 ，求 f(u，v)，并求 (2)设 zf(，y)由 f(y，y) 2y 2y 确定，求 dz25 (1)求二元函数 f(，y) 2(2y 2)ylny 的极值 (2)求函数 f(，y)( 22y)ey 的极值26 求 u 2 y2z 2 在 1 上的最小值27 平面曲线 L： 绕 轴旋转所得曲面为 S，求曲面 S 的内接长方体的最大体积28 设 zf(t 2，e 2t)二阶连续可偏导，其中 f 二阶连续可偏导，求29 设 zf(e siny，y) ，其中 f 二阶连续可偏导，求30 uf( 2，y，y 2)，其中 f 连续可偏导，求31 设 z
6、f(，y)在点(1，1)处可微，f(1 ，1)1，f 1(1，1)a，f 2(1，1)b，又uf，f(，)，求32 设 z ，求33 设 yy()，zz()由 确定，求 34 设 zz(，y)是由 F( ，y )0 所确定的二元函数，其中 F 连续可偏导，求35 求二元函数 f(，y) 33 39y 22y2 的极值36 求 zf(，y)满足：dz2d 4ydy 且 f(0，0) 5 (1)求 f(，y) (2)求 f(，y)在区域 D(，y) 24y 24上的最小值和最大值考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
7、【正确答案】 C【试题解析】 f 1zf 2， f 12f 2zf 22 故选 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(，y)在点( 0，y 0)处取得极小值，则有 f(0，y 0)0，f y(0，y 0)0，于是f( 0，y)在 yy 0 处导数为零，选 A【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 2z【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 z f( 2y 2z 2，yz)两边对 求偏导得【知识模块】
8、 多元函数微分学7 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 e 1【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 z e zy 2 两边求微分得 d(ze z)d(y 2)，即dze zdzy 2d2ydy ， 解得 dz【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 z f( y，yz，z)两边求 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 z y【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 d dy【试题解析】 yz 两边求微分得 yzdzdyydz(dydyzdz)0
9、， 把(1，0，1)代入上式得dzd dy【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 1【试题解析】 f (，y，z)y(e z22ze )，yzyz 0 两边对 求偏导得将 0，y1，z1 代入得解得 f(0，1，1)1【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 7d 3dy【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 y f()yg()两边分别对 ，y 求偏导，得【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 对 zy e zy 0 两边求微分，得 dzdyde zy de zy (dzdyd)0， 解得 dzddy【知识模块】
10、多元函数微分学18 【正确答案】 ，方程 eyy0 两边对 求导得方程 ezz 0 两边对 求导得【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 z f( y)及 F(，y，)0 两边对 求导数，得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 (1)将 yf(，t)与 G(，y，t) 0 两边对 求导得(2)当 0，y0 时，z 1 zlnz1 两边分别对 和 y 求偏导得0 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 0 两边对 求偏导得0 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 zf(u，v)，则
11、有将上述式子代入方程 0 得(105a) (6a a 2)0， 根据题意得 解得 a3【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 z f(y)，y两边关于 y 求偏导得 f 1f 2 (f 11f 12)f 1f 21f 22 f 11()22f 12f 1f 22【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 (1)令 从而 f(u，v)uv于是 (2)令代入得 f(u，v)从而zf( ， y)y ， 由 得dz(y )d( y)dy【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 (1)二元函数 f(，y)的定义域为 D(，y)y0， 由得(，y) (0， )，因为 ACB 20 且 A
12、0，所以 为 f(，y)的极小点， 极小值为由ACB 22 0 及 A20 得 (，y)(1，0) 为 f(，y)的极小值点，极小值为f(1，0)1【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 令 F 2y 2z 2( 1) ，u 2y 2z 2 在 1 上的最小值为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 曲线 L： 绕 轴旋转一周所得的曲面为 S ：1 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(yz)，则体积 V 8yz 令 Fyz ( 1)，由由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为V ab2【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 2t
13、f 12e 2tf2， 2f 12t(2tf 112e 2ttf 12)4e 2tf22e 2t(2tf 212e 2tf 22) 2f 14t 2f 118te 2tf 124e 2tf24e 4tf 22【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 e siny.f1y.f 2， ecosy.f1e siny.(ecosy.f 11f12)f 2y(e cosy.f 12f 2yf 22) e cosy.f1 e2sinycosy.f11e (sinyycosy)f 12 f2yf 22【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 2f 1yf 2y 2zf3， f 22yzf 3 y
14、 2f3【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 由 f 1，f( ，) f 2，f(，).f 1(，) f 2(，)得 f 11，f(1，1)f 21，f(1，1).f 1(1，1)f 2(1，1) ab(ab)aabb 2【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 两边对 求导得【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 0 两边对 求偏导得0 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 当(，y)(1 ，1) 时， A12， B0，C2， 因为 ACB 2240，所以(1，1)不是极值点； 当(，y)(3，1)时，A12，B0， C2， 因为 ACB 2240 且A0，所以(3，1) 为极小点，极小值为 f(3，1)26【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 (1)由 dz2d4ydy 得 dzd( 22y 2)， 从而 f(，y) 22y 2C，再由 f(0， 0)5 得 f(，y) 22y 25 (2)当 24y 24 时， 由f(0，0)5； 当 24y 24 时，令(0t2)， z4cos 2t2sin 2t56cos 2t3， 当 cost0 时，f min3；当 cost1 时，f max9， 故最小值为 m0，最大值 M9【知识模块】 多元函数微分学
