1、考研数学二（向量）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 I： 1,2 r，可由向量组： 12 s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关（D）当 rs 时，向量组 I 必线性相关2 设 1,2 s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 ks1+ks2+kss0，则 1,2 s 线性无关（B）若 1,2 s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有
2、ks1+ks2+kss0（C） 1,2 s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1,2 s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关3 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关4 设 则三条直线a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=l，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（A） 1,2,3 线性相关（B） 1,2,3 线性无关（C） r(1,2,3)=r(1,
3、2)（D） 1,2,3 线性相关， 1,2 线性无关5 设向量组 1,2,3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1 一 22， 2 一 23， 321（D） 1+22， 2+23， 3+216 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1+ 与 2+( )（A）线性无关（B）线性相关（C）即线性相关又线性无关（D）不确定7 已知向量组 则向量组1,2,3,4,5 的一个极大无关组为( )（A） 1,3（B） 1,2（C） 1,2,5（D） 1,3,58 设 1=(1，2 ，3，1) T， 2=(3
4、，4，7，一 1)T， 3=(2，6，a，6) T， 4=(0，l，3，a)T，那么 a=8 是 1,2,3,4 线性相关的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件9 设向量 可由向量组 1,2 m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1,2 m-1 线性表示，记向量组() ： 1,2 m-1，则( )（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可以由()线性表示（C） m 可以由(I)线性表示，也可以由()线性表示（D） m 可以由 (I)线性表示，但不能由(11)线性表示10 已知四维向量组
5、 1,2,3,4 线性无关，且向量 1=1+3+4， 2=2 一4， 3=3+4， 4=2+3， 5=21+2+3则 r(1， 2， 3， 4， 5) =( )（A）1（B） 2（C） 3（D）411 设 A 是 n 阶方阵，且A=0，则 A 中( )（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合12 设 1,2 s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1,2 s 线性相关，则 A1，A 2， As 线性相关（B）若 1,2 s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关
6、（C）若 1,2 s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1,2 s 线性无关，则 A1，A 1， As 线性无关13 设 i=(ai，b i，c i)T，i=1，2，3，=(d 1，d 2，d 3)T，则三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0 a2x+b2y+c2z+d2=0 a3x+b3y+c3z+d3=0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是( )（A）r( 1,2,3)=1，r( 1,2,3，)=2（B） r(1,2,3)=2，r( 1,2,3，)=3（C） 1,2,3 中任意两个均线性无关，且 不能由 1,2,3 线性表出（D） 1,2,3 线性相关，且 不能
7、由 1,2,3 线性表示二、填空题14 若 1=(1， 0，5，2) T， 2=(3，一 2，3，一 4)T， 3=(一 1，1，t ，3) T 线性相关，则未知数 t=_.15 向量组 1=(1，一 2，0，3) T， 2=(2，一 5，一 3，6) T， 3=(0，1，3，0)T， 4=(2，一 1，4，7) T 的一个极大线性无关组是_.16 若向量组 1=(1，一 1，2，4) T， 2=(0，3，1，2) T， 4=(3，0，7，a) T， 4=(1，一 2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是 _.17 如果 =(1，2，t) T 可以由 1=(2，1，1) T， 2
8、=(一 1，2，7) T， 3=(1，一 1，一 4)T 线性表示，则 t 的值是_.18 设 x 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E 一 xxT 的秩为_.19 向量组 1=(1，0，0) ， 2=(1，1，0) ， 3=(一 5， 2，0)的秩是_.20 已知 r(1,2 s)=r(1,2 s，)=r，r( 1,2 s，)=r+1，则r(1,2 s， ，)=_.21 设 1=(1， 2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2 ，一 2)T，若 1=(1，3，4) T 可以由 1,2,3 线性表示，但是 2=(0，1，2) T 不可以由 1,2,3 线性
9、表示，则a=_.22 已知 1=(1，4，2) T， 2=(2，7，3) T， 3=(0，1，a) T 可以表示任意一个三维向量，则 a 的取值是 _.23 与 1=(1， 2，3，一 1)T， 2=(0，0，1，2) T， 3=(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 已知 n 元齐次线性方程组 A1x=0 的解全是 A2x=0 的解，证明 A2 的行向量可以由A1 的行向量线性表示24 设 3 阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=3 对应的特征向量依次为 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，4) T， 3=(1， 3，
10、9) T25 将向量 =(1，1，3) T 用 1,2,3 线性表示；26 求 An26 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示27 求 a 的值；28 将 1， 2， 3 由 1,2,3 线性表示28 已知 r(1,2,3)=2，r( 2,3,4)=3，证明29 a1 能由 a2，a 3 线性表示；30 a4 不能由 1,2,3 线性表示31 设 a1，a 2 线性无关，a 1+b，a 2+b 线性相关，求向量易用 a1，a 2 线性表示的表达式32
11、 设 b1=a1，b 2=a1+a2，b r=a1+a2+ar，且向量组 a1，a 2，a r 线性无关，证明向量组 b1，b 2， r 线性无关32 *是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， n-r，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明：33 *， 1，, n-r 线性无关；34 *， *+1， *+n-r 线性无关35 设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1， n-r+1 是它的 n 一 r+1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 x=k11+kn-r+1n-r+1 (其中 k1+kn-r+1=1)36 证明 n 维向量 1,2 n 线性无关的充要条件是考研
12、数学二（向量）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 I 可由向量组线性表示，故 r(I)r()s 又因为当rs 时，必有 r(I)r，即向量组 I 的秩小于其所含向量的个数，此时向量组 I 必线性相关，所以应选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 的条件即齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 只有零解，故1,2 s 线性无关，选项 A 正确对于选项 B，由 1,2 s 线性相关知，齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着
13、任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的选项 C 是教材中的定理由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的综上可知，应选 B【知识模块】 向量3 【正确答案】 A【试题解析】 齐次线性方程组 Ax=0 的向量形式为 x11+x22+xnn=0，其中1,2 n 为 A 的 n 个 m 维的列向量由 Ax=0 只有零解 1,2 n 线性无关可知选项 A 正确对于选项 C、D，只要 m n，不管 A 的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故 C、D 均不正确所以应选 A【知识模块】 向量4 【正确答案】 D【试题解析】 三
14、直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或 x 1+y2+3=0 (2)有唯一解由(2) 式可得 3=一 x1 一 y2而方程组(2)(或(1)有唯一解 3，可由 1， 2 线性表示，且表示式唯一 1,2,3 线性相关， 1， 2 线性无关所以应选 D【知识模块】 向量5 【正确答案】 A【试题解析】 利用向量组线性相关的定义，令 x1(12)+x2(2 一 3)+x3(3 一 1)=0， (x1，x 2，x 3 为不全为零的实数)可得(x 1 一 x3)1+(一 x1+x2)2+(一 x2+x3)2=0又已知 1,2,3 线性无关，则则齐次线性方程组(*)有非零解，故 1 一 2， 2 一
15、 3， 3 一 1 线性相关故应选A【知识模块】 向量6 【正确答案】 D【试题解析】 例如，令=(1，1)， 1=(0，2)，=(一 1，一 1)，则 1， 2 线性无关，而 +=(0，0) 与 2+=(一 1，1) 线性相关如果设 =(0，0)，那么 1+ 与 2+ 却是线性无关的故选 D【知识模块】 向量7 【正确答案】 D【试题解析】 对以 1,2,3,4,5 为列向量的矩阵作初等行变换，有所以 1， 3， 5 是一个极大无关组，且 2=1+35， 4=1+3+5【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1,2 n是否为零去判断因此，
16、当 a=8 时，行列式 1,2 4=0，向量组 1,2,3,4 线性相关，但 a=2时仍有行列式 1,2 4=0，所以 a=8 是向量组 1,2,3,4 线性相关的充分而非必要条件【知识模块】 向量9 【正确答案】 B【试题解析】 按题意，存在组实数 k1，k 2，k M 使得 k11+k22+kmm= (*)且必有 km0否则与 不能由 1， 2， m-1 线性表示相矛盾，从而即 m 可由向量组()线性表示，排除选项A、D若 m 可以由(I)线性表示，即存在实数 l1，l 2，l m-1，使得m=l11+l22+lm-1m-1，将其代入(*) 中，整理得 =(k1+kml1)1+(k2+km
17、l2)2+(km-1+kmlm-1)m-1，这与题设条件矛盾因而 m 不能由向量组(I)线性表示，排除选项 C【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有因4 个四维向量 1,2,3,4 线性无关，故 1,2,3,40A=( 1,2,3,4)是可逆矩阵，A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r(1， 2， 3， 4， 5) 故知r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3，因此应选 C【知识模块】 向量11 【正确答案】 C【试题解析】 对于方阵 A，因为A=0r(A)nA 的行(列)向量组的秩小于n，所以 A 的列向量组
18、必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C选项 A、B 仅是A=0 的充分条件，故均不正确由向量组线性相关的充分必要条件之“至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D 也不正确【知识模块】 向量12 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=(1,2 s)，则(A 1，A 2，A s)=AB若向量组1,2 s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选 A【知识模块】 向量13 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A：r( 1,2,3)=1，表明三个平面的法向量平行，从而三个平
19、面相互平行(或重合) 又 r(1,2,3，)=2 ，表明三个平面没有公共的交点，因为这三个平面两两平行，至多有两个重合选项 A 是必要不充分条件选项 B：当三个平面两两相交成三条平行直线时，必有 r(1,2,3)=2，r( 1,2,3，)=3，但当r(1,2,3)=2，r( 1,2,3，)=3 时，有可能其中两个平面平行，第 3 个平面和它们相交，所以选项 B 是必要不充分条件选项 C： 1,2,3 中任意两个均线性无关任何两个平面都不平行相交成一条直线，而 不能由 1,2,3，线性表出三个平面没有公共交点选项 C 是充分必要条件选项 D：选项 D选项 A 或 B，故选项 D 是必要不充分条件
20、综上选 C【知识模块】 向量二、填空题14 【正确答案】 1【试题解析】 1,2,3 线性相关的充分必要条件是齐次方程组 x11。+x 22+x33=0有非零解将系数矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，则有由于方程组有三个未知数，如果该方程组有非零解，则系数矩阵的秩必定小于等于 2，因此可知 t 一 1=0，即t=1【知识模块】 向量15 【正确答案】 1,2,4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有因为矩阵中有 3 个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在 1，2，4 列，所以 1,2,4 是向量组 1,2,3,4 的一个极大线性无关组【
21、知识模块】 向量16 【正确答案】 a14【试题解析】 n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是以这 n 个向量组成的矩阵对应的行列式不为 0，由于已知的四个向量对应的矩阵行列式为 计算该行列式可得因此可知 a14【知识模块】 向量17 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1,2,3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x11+x22+x33= 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t 一 5=0，即 t=5【知识模块】 向量18 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 xxT 的特征值为 0，0，1，故
22、ExxT 的特征值为1，1，0又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E 一 xxT)=2【知识模块】 向量19 【正确答案】 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为 0的行向量的个数就是向量组的秩，即 ，因此秩是 2【知识模块】 向量20 【正确答案】 r+1【试题解析】 已知 r(1,2 s)=r(1,2 s，)=r，表明向量 可以由向量组1,2 s 线性表示，但是 r(1,2 s，)=r+1，则表明向量 不能由向量组1,2 s 线性表示，因此通过对向量组 1,2 s， ， 作初等列变换，可得(1,2 s， ，)=( 1,
23、2 s，0，) ，因此可得 r(1,2 s，)=r+1 【知识模块】 向量21 【正确答案】 一 1【试题解析】 根据题意， 1=(1，3，4) T 可以由 1,2,3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=(0，1，2) T 不可以由 1,2,3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当 a=一 1 时，满足方程组 x11+x22+x33= 有解，方程组x11+x22+x33=2 无解的条件，故 a=一 1【知识模块】 向量22 【正确答案】 a1【试题解析】 1,2,3 可以表示任
24、一个 3 维向量，因此向量 1,2,3 与 1=(1，0，0)T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，0，1) T 是等价向量，因此 1,2,3 的秩为 3，即 1,2,30，于是 因此 a1【知识模块】 向量23 【正确答案】 【试题解析】 已知，若向量 ， 正交，则内积 T=0，设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与1,2,3 均正交，那么 对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(一1，一 1，1，0) T，将这个向量单位化得 ，即为所求向量【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 因为 A1x=0 的解全是 A2x=
25、0 的解，所以 A1x=0 与 同解那么 所以 A2 的行向量可以由 A1 的行向量线性表示【知识模块】 向量【知识模块】 向量25 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，即 故=2122+3【知识模块】 向量26 【正确答案】 A=2A 一 2A+A，则由题设条件 An=2An1 一2An2+An3=21 一 22n2+3n3=【知识模块】 向量【知识模块】 向量27 【正确答案】 由于 1,2,3 不能由 1， 2， 3 表示，则由 1,2,3=10，知1,2,3 线性无关，因此， 1， 2， 3 线性相关，即解得 a=5【知识模块】 向量28 【正确答案】 本题等价于求三阶矩阵 C
26、，使得( 1， 2， 3)=(1,2,3)C【知识模块】 向量【知识模块】 向量29 【正确答案】 r(a 1，a 2，a 3)=23a 1，a 2，a 3 线性相关；假设 a1 不能由 a2，a 3线性表示，则 a1 与 a2，a 3 线性无关a 2，a 3 线性相关而由 r(a2，a 3，a 4)=3a 2，a 3，a 4 线性无关a 2，a 3 线性无关，与假设矛盾综上所述，a 1 必能由a2，a 3 线性表示【知识模块】 向量30 【正确答案】 由(1)的结论，a 1 可由 a2，a 3 线性表示，则若 a4 能由 a1，a 2，a 3 线性表示 a4 能由 a2，a 3 线性表示，即
27、 r(a2，a 3，a 4)3 与 r(a2，a 3，a 4)=3 矛盾，故 a4不能由 a1，a 2，a 3 线性表示【知识模块】 向量31 【正确答案】 因为 a1+b，a 2+b 线性相关，故存在不全为零的常数 k1，k 2，使k1(a1+b)+k2(a2+b)=0，贝 0 有(k 1+k2)b=一 k1a1k2a2又因为 a1，a 2 线性无关，若k1a1+k2a2=0，则 k1=k2=0这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有 k1a1+k2a20，(k 1+k2)b0由 a1，a 2 线性无关，a 1+b，a 2+b 线性相关，因此 b0综上 k1+k20，因此由(k1+k2)b=
28、一 ka1 一 k2a2【知识模块】 向量32 【正确答案】 根据已知，可得(b 1，b 2，b r)=(a1，a 2，a r)K，其中向量组 a1，a 2，a r，线性无关，则 r(a1，a 2，a r)=r，又因为 故 K 可逆，由矩阵的性质，得r(b1，b 2， br)=r(a1，a 2，a r)=r所以 b1，b 2，b r 线性无关【知识模块】 向量【知识模块】 向量33 【正确答案】 假设 *， 1， n-r 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c n-r 使得下式成立 c0*+c11+cn-rn-r=0 (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c0*+c11+cn-r
29、n-r)=c0A*+c1A1+cn-rAn-r=c0b，其中 b0，则由上式c0=0，于是(1)式变为 c11+cn-rn-r=0， 1,， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1,， n-r 线性无关，因此 c1=c2=cn-r=0，与线性相关矛盾因此由定义知， 线性无关【知识模块】 向量34 【正确答案】 假设 *， *+1， *+n-r 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c n-r 使得下式成 c0*+c1(*+1)+cn-r(*+n-r)=0，即(c 0+c1+cn-r)*+c11+cn-rn-r=0 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c0+c1+cn
30、-r)*+c11+cn-rn-r=(c0+c1+cn-r)A*+c1A1+cn-rAn-r，=(c 0+c1+cn-r)b，因为b0，故 c0+c1+cn-r=0，代入(2)式，有 c11+cn-rn-r=0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1=c2=cn-r=0，即得 c0=0与假设矛盾综上，所给向量组 *， *+1，+ *+n-r 线性无关【知识模块】 向量35 【正确答案】 设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1， 2， n-r+1 线性无关且均为 Ax=b 的解取 1=2 一 1， 2=3 一 1， n-r=n-r+1 一
31、 1，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次方程 Ax=0 的解下面用反证法证：设1， 2， n-r 线性相关，则存在不全为零的数 l1，l 2，l n-r，使得l11+l12+ln-rn-r=0，即 l1(2 一 1)+l2(3 一 1)+ln-r(n-r+1 一 1)=0，亦即一(l1+l2+ln-r)1+l12+l23+ln-rn-r+1=0由 1， 2， n-r+1 线性无关知一(l1+l2+ln-r)=l1=l2=ln-r=0，与 l1，l 2，l n-r 不全为零矛盾，故假设不成立因此 1， 2， n-r 线性无关，是 Ax=0 的一组基由于 x， 1 均为 Ax=b 的解，所以
32、 x 一 1 为 Ax=0 的解，因此 x 一 1 可由 1， 2， ， n-r 线性表示，设 X 一1=k21+k32+kn-r+1n-r，=k 2(2 一 1)+k3(3 一 1)+kn-r+1(n-r+1 一 1)，则X=1(1 一 k2 一 k3 一一 kn-r+1)+k22+k33+kn-r+1n-r+1=0，令 k1=1 一 k2 一 k3 一一 kn-r+1，则 k1+k2+k3+kn-r+1=1，从而 X=k11+k22+kn-r+1n-r+1 恒成立【知识模块】 向量36 【正确答案】 根据题意，令 A=(1， 2， n)，则 D=ATA那么 D= A TA=A TA=A 2，显然A0 的充要条件是 D0，因此，1,2 n 线性无关的充要条件是 D0【知识模块】 向量
