1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则( ) 2 两个无穷小比较的结果是 ( )（A）同阶无穷小（B）高阶无穷小（C）低阶无穷小（D）不确定3 函数 f(x)=xsinx ( )（A）在(一 ，+)内无界（B）在 (一，+)内有界（C）当 x 时为无穷大（D）当 x时极限存在4 当 x0 时， 为 x 的三阶无穷小，则 a，b 分别为 ( )（A）1，0（B）（C）（D）以上都不对5 极限 的充要条件是 ( )（A）1（B） 1（C） 0（D）与 无关二、填空题6 7 8 9 当 x一 1 时，无穷小
2、则A=_，k=_10 若 是(一，+)上的连续函数，则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算12 分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系13 求函数 的间断点并指出其类型14 设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0， 求15 求 的连续区间、间断点，并判别间断点的类型16 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且 f(x)在 x=0 处连续，证明：函数 f(x)在任意点 x0 处连续17 设 5 且为常数，则 k 为何值时极限 存在，并求此极限值18 设 计算19 20 21 22
3、23 24 25 求极限：26 求极限：27 求极限：28 求极限：29 求极限：30 求极限：考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 若 (x)=x，当 x0 时，都是无穷小但不存在，故 (x)和 (x)无法比较阶的高低，排除(A) ，(B)，(C)所以选 (D)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意给定的正数 M，总存在点 当 时，有 故 f(x)在( 一，+)内无界，所以(A)正确
4、，(B)，(D)错误 (C)错，对于任意给定的正数 M，无论 x 取多么大的正数，总有xn=|2n|x 使 f(xn)=xnsinxn=0M，故当 x 时 f(x)不是无穷大(千万不要将无穷大与无界混为一谈)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知 即因为 x0 时，分母趋于零，由洛必达法则知得到 b+1 一 a=0 又成立，则必须有2b+1=0，即 再结合 b+1 一 a=0，得【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 令 则 【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7
5、 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 当 x一 1 时， 故 k=1【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)在 x=0 处连续，可得 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 又故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定
6、不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=|x|，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式 所以函数 (x)=|x|是初等函数而 则不是初等函数【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 显然 f(0)无意义 当 x0 时，而 则 x=0为可去间断点又 则 x=1 为跳跃间断点 由于 f(x)是偶函数，则 x=一 1 也是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 令 xn 一 tn=u，则于是 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 f(x)无定义的点是使 1 一 x=0 和 的点，即 x=1 和x=0，所以 f(
7、x)的连续区间为(一，0) (0，1) (1，+) 当 x0 时，所以 所以 x=0 是无穷间断点 当 x1 -时，所以 f(1-)=0，而当 x1 +时，所以 f(1+)=1所以 x=1 是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 而 f(x0+x)一 f(x0)=f(x0)+f(x)一 f(x0)=f(x)，两边取极限得到故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 当 k0
8、 时，I=一，极限不存在； 当 k0 时，只有当 k 一 1=0，即时，极限才为 型，否则极限为，不存在 故 当 =5 时，此时 当 5 时，I=0，此时【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 是“1 ”型未定式极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换方法一 方法二 方法三 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 当 x=0 时，原式=1 ； 当 x0 时， 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 因为当 x0 时，有 故 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 由于故【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 由于故 【知识模块】 函数、极限、连续
