1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 ( )（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点2 设 f(x)= ，则 f(x)有 ( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个可去间断点（D）2 个无穷间断点3 设 f(x)=
2、 ，则下列结论中错误的是 ( )（A）x=一 1，x=0 ，x=1 为 f(x)的间断点（B） x=一 1 为无穷间断点（C） x=0 为可去间断点（D）x=1 为第一类间断点4 若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a ，b)内间断点的类型只能是 ( )（A）第一类间断点（B）第二类间断点（C）既有第一类间断点也有第二类间断点（D）结论不确定5 设 f1(x)= ，f 2(x)=f1f1(x)，f k+1(x)=f1f1(x)，k=1，2，则当 n1 时，fn(x)= ( )二、填空题6 当 x一 1 时，无穷小 +1A(x+1) k，则A=_，k=_7 当 x 时，若 一 1
3、A(x 一 )k，则A=_，k=_8 若 f(x)= 是(一，+)上的连续函数，则a=_。9 已知数列 Fn= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 证明：若单调数列x n有一收敛的子数列，则数列 xn必收敛11 分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?12 求 13 已知数列x n的通项 xn=(一 1)n 一 1 ，n=1，2，314 利用夹逼准则证明： 15 设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且16 设 a0， x10，x n+1= 17 试讨论函数 g(x)= 在点 x=0 处的连续性18 求函数 F(x)= 的间断点，并判
4、断它们的类型。19 求函数 f(x)= 的间断点并指出其类型20 已知 f(x)= 是连续函数，求 a，b 的值21 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判定其类型。22 设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0xtn 一 1f(xn 一 tn)dt，求 23 设 f(x)= ，为了使 f(x)对一切 x 都连续，求常数 a 的最小正值24 设 f(x)= 求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续25 求 f(x)= 的连续区间、间断点并判别其类型26 设 f(x；t)= (x 一 1)(t 一 1)0，xt)，函数 f(x)由下
5、列表达式确定， f(x)= (x；t)，求出 f(x)的连续区间和间断点，并研究 f(x)在间断点处的左右极限27 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上一个点列，求28 设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=xsinx，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限 存在29 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)：f(x 1)+f(x3)，并且 f(x)在 x=0 处连续，证明：函数 f(x)在任意点 x0 处连续30 证明：若单调函数 f(x)在区间(a ，b)内有间断点，则必为第一类间断点考研数学二（函数、极
6、限、连续）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点故 x=1 是第一类间断点，x=0 是第二类间断点，选(D)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续因 x1 时，ln x=ln(1+x 一 1)x 一 1，则 x=1 为跳跃间断点选(A)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 去掉绝对值符号，将 f(x)写成分段函数，【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案
7、】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调增加，且f(x) M，对任一点 x0(a，b)，当xx 0 一 时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0+时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 存在，故 x0 只能是第一类间断点【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 ；1【试题解析】 当 x一 1 时，【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 ；2【试题解析】 当 x 时，【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【
8、试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 记数列y n为单调数列(x n的收敛子数列，因为单调数列x n的子数列y n也一定是单调数列由于收敛的单调数列必有界，所以数列y n一定有界即存在实数 A 和 B，对一切 k 成立 Ay kB由于数列y k是单调数列x n的收敛子数列，所以存在 N，当 nN 时，有 xny1，则 Ax nB又根据单调有界数列必收敛的原理可知，数列x n必收敛【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式
9、子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的形式x=*，所以函数 (x)=x是初等函数而 sgn x=则不是初等函数【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 g(0)=(e x+) x=0=所以： 当 0 且 =一 1 时，有
10、 g(0 一 )=g(0+)=g(0)=0，故 g(x)在 x=0 处连续； 当 0 且 一 1 时，有 g(0 一 )g(0+)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点； 当 0 时，点 x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因 故 x=0 是函数 F(x)的跳跃间断点 当 x0 时，F(x)=不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点 当 x0 时，F(x)= ，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点显然是函数 F(x)的无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 显
11、然 f(0)无意义则 x=1 为跳跃间断点 由于 f(x)是偶函数，则 x=一 1 也是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 则 x=一 1 为跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由此可见，f(x)在( 一，一 1，(一 1，1) ，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=一 1，x=1 两点连续即可因为【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 f(x)在(一 1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的。f(0)无定义，故 x=0
12、 是间断点因为，所以 x=0 为跳跃间断点 f(1) 无定义，故 x=1 是间断点因为不存在所以 z 一1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 f(x)无定义的点是使 1 一 x=0 和 1 一 =0 的点，即 x=1 和x=0，所以 f(x)的连续区间为(一，0) (0，1) (1，+)当 x0 时，1 一=，所以 x=0 是无穷间断点 当 x1 一 时，所以 f(1+)=1所以 x=1 是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ，6上连
13、续，知 ef(x)在a ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a，b上的最大值和最小值，【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x)v(x)化为复合函数 ev(x)ln u(x)，故【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 f(x)=f(0)=0，而 f(x0+x)一 f(x0)=f(x0)+f(x)一 f(x0)=f(x)
14、，两边取极限得到 =0，故函数f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 不妨设 f(x)在(a ，b)内有定义，是单调递增的，x 0(a，b)是 f(x)的间断点再设 x(a，x 0)，则 xx 0，由单调递增性知： f(x)f(x 0)(为常数)，即 f(x)在(a ，x 0)上单调递增有上界，它必定存在左极限：f(x 0 一 )= f(x)f(x0)，式中“”处若取“=”号，则 f(x)在 x0 左连续，反之点 x0 为 f(x)的跳跃间断点，同理可证，当 xx 0 时，单调增函数 f(x)存在右极限 f(x0+)f(x0)，f(x) 或在 x0 右连续、或点 x0为跳跃间断点综合之，单调增函数 f(x)在间断点 x0 处的左、右极限都存在，故若x0 是 f(x)的间断点，则 x0 一定是 f(x)的第一类间断点同理可证 f(x)在(a ，b)内单调递减的情形【知识模块】 函数、极限、连续
