1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(t) 01ln d，则 f(t)在 t0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 设 M sin(sin)d，N cos(cos)d，则有（A）M1N（B） MN1（C） NM 1（D）1MN二、填空题3 (a0) _4 设 yf()满足 y o() ，且 f(0)0，则 01f()d_5 设 f()在a ，b上连续可导，f(a)f(b)0，且 abf2()d1，则 abf()f()d_ 6 设 f()具有连续导数，且 F
2、() 0(2t 2)f(t)dt，若当 0 时 F()与 2 为等价无穷小，则 f(0)_7 已知 f() 则 01f()d_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 计算下列定积分：9 计算定积分 I (a0，b0)10 设函数 f() 并记 F() 0f(t)dt(02)，试求 F()及f()d11 求下列不定积分： ()secd；12 求下列不定积分：13 求不定积分 14 求下列积分：15 求下列不定积分： ()aresin.arccosd；() 2sin2d；()16 求 In sinnd 和 Jn cosnd，n0，1，2，317 计算不定积分 18 求下列不定积分：1
3、9 求下列不定积分：20 求下列定积分：21 求下列定积分：22 计算下列反常积分(广义积分)的值：23 求一块铅直平板如图 31 所示在某种液体(比重为 )中所受的压力24 求下列平面曲线的弧长： ()曲线 9y2(3) 2 (y0)位于 0 到 3 之间的一段； () 曲线 l(a 0，b0，ab)25 求下列曲线的曲率或曲率半径： ()求 yln 在点(1，0)处的曲率半径 ()求 tln(1t 2)，yarctant 在 t2 处的曲率26 已知抛物线 yabc 经过点 P(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a，b，c27 设函数 yf() 在a，b(a 0)
4、连续，由曲线 yf()，直线 a b 及 轴围成的平面图形(如图 312) 绕 Y 轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 A【试题解析】 sin(sin)， cos(cos)均在0， 上连续，由 sin sin(sin)sin(0， )，即N1因此选 A【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 利用分部积分法【知识模块】 一元函数积分概念、计
5、算及应用4 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知 ， f()由 f(0)0 可得 C0于是 f() 由定积分几何意义得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 【试题解析】 因 f()f()，所以【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 【试题解析】 由于 F() 0(2t 2)f(t)dt 20f(t)dt 0t2f(t)dt， 所以 F()2 0f(t)dt 2f() 2f()2 0f(t)dt， 又依题设，当 0 时 F()与 2 为等价无穷小，从而 故f(0)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 (e-11)【试题解析】 用分
6、部积分法由于 f() ，故【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 () 由于 min ，cos为偶函数，在0 ， 上的分界点为 ，所以()由于分段函数 f()的分界点为 0，所以，令 t1 后，有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 在区间0，上按如下方式用牛顿一莱布尼兹公式是错误的即因 在 无定义，它只是分别在 上是的原函数， 因而不能在0，上对积分 I 应用牛顿-莱布尼兹公式但可按如下方法计算：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 根据牛顿-莱布尼兹公式，当 01 时，有 F
7、()当 12 时，f()dF()C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 () 令 ，于是 d，则再用上面的三角形示意图 ，则得()令 atant( )，于是dasec 2tdt， nsect，则再利用上面的三角形示意图，则有其中 C1C lna【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 令 et，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 ()()由于 sin2 (1cos2)，所以 2sin2d2dsin2
8、连续使用分部积分法得因而得到关于 的方程，解得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 () 当 n2 时(n 1)In-2(n1)I n， 解出，I n 于是当 n2 时得递推公式 In In-2 由于I0 ， I11 ，应用这一递推公式，对于 n 为偶数时，则有对于 n 为奇数时，则有 ()由于 cossin( )，所以，令 t ，则有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 () 被积函数中含有两个根式 与 ，为了能够同时消去这两个根式，令 t6则()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所
9、介绍的有所不同，然而也应该通过变量替换将根式去掉令 t，即 ln(1t 2)，从而【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 ()由于 故作平移： t 并记 c ，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 () 由于 22(1) 21，所以为去掉被积函数中的根号，可令 1sect，则有()采用分解法与分部积分法注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 液体中深度为 h 处所受
10、的压强为 ph，从深度为 a 到 之间平板所受的压力记为 P()，任取 ， 上小横条，所受压力为 PP()P().c 令0，得 dP()cd于是，总压力为 P abcd (b2a 2) . (ab)c(b a).矩形中心的深度 .矩形的面积【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 () 先求 y与 ：将 9y2(3) 2 两边对 求导得6yy(3)(1)，即 y (3)(1)， 因此该段曲线的弧长为()先写出曲线的参数方程 0，2，再求于是代公式并由对称性得，该曲线的弧长为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 () 先求 ，然后代公式： 于是，在任意
11、点 0 处曲率为于是曲线在点(1，0)处的曲率半径 ()利用由参数方程确定的函数的求导法则，得于是所求曲率为 K【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 圆 的半径为 ，所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点 P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数 yy()在 P(1，2)处的)y0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y1 由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有 abc2 抛物线与圆在点 P(1，2) 相切，所以在点 P(1，2)处 y1，即有2ab1又抛物线与圆在点 P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得 a2，从而 b3，c 2ab3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 用微元法任取a，b 上小区间 ，d，相应得到小曲边梯形，它绕 y 轴旋转所成立体的体积为 dVf()2d，于是积分得旋转体的体积为 V2 abF()d【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
