1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 双纽线( 2y 2)2 2y 2 所围成的区域面积可表示为 ( )（A）2 cos2d（B） 4 cos2d（C）（D） (cos2)2d2 设 f()，g()在区间a， b上连续，且 g()f()m ，则由曲线 yg() ，yf()及直线 a，b 所围成的平面区域绕直线 ym 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2mf()g()f()g()d（B） ab2mf()g()f()g()d（C） abmf()g()f()g()d（D） abm f()g()f()g()d二
2、、填空题3 设 f()在0 ，1上连续，且 f() 01f()d，则 f()_4 设 f()C1，)，广义积分 0 f()d 收敛，且满足 f() f()d，则 f()_5 设 f() ，则 _6 设 f()二阶连续可导，且 f(0)1，f(2) 3，f(2) 5，则 01f(2)d _7 设 f() 则 -15f(1)d_8 _(其中 a 为常数) 9 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求11 求12 设 f(2) ，f(2)0， 02f()d1，求 01f(2)d13 计算14 求函数 f() (2 t)e -tdt 的最大值与最小值15 求16 计算17 计算18
3、 计算19 设 f()在a，b上连续，且 f()0，证明：存在 (a，b)，使得 af()d bf()d20 设 f()在a，b上连续，证明： abf()d abf(ab)d21 设 f()为连续函数，证明： (1) 0(sin) f(sin)d f(sin)d； (2)02(sin)d4 f(sin)d22 证明： sinncosnd2 -n sinnd23 设 f()连续，证明： 00tf(u)dudt 0f(t)(t)dt24 设 f()连续且关于 T 对称，aTb证明： abf()d2 Tbf()d a2T-bf()d25 设 f(a)f(b)0， abf2()d1，f()Ca ，b
4、(1)求 abf()f()d； (2)证明：abf2()dab2f2()d 26 设 f()在区间 0，1上可导，f(1)2 2f()d证明：存在 (0，1) ，使得2f() f()027 设 f()，g()在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f()bg()dg()af()d28 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 0f()cosd 0f()sind0证明：存在 (0，) ，使得 f()029 设 f()在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0) f(2) 0，且f() 2证明： 02f()d230 设 f()在区间 a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使
5、得 abf()d(ba)f f()考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线( 2y 2)2 2y 2 的极坐标形式为 r2cos2，再根据对称性，有 A4 cos2d，选 A【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对，d a，b， dvm g()2mf() 2d2m f() g()f()g()d， 则 V abdv ab2mf()g()f()g()d，选 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 令 01f()d
6、k，则 f() k，f() k ， 两边积分得 11f()d 01kd，即 k ，所以k2( 1)，从而 f() 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 令 1 f()dA，则由 f() f()d，得 A， 解得 A ，所以 f() 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 e -11【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分
7、学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 ln( )为奇函数，所以【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 因为 f()为偶函数，所以只研究 f()在0，)内的最大值与最小值即可 令 f()2(2 2) 0，得 f()的唯一驻点为 ， 当 (0， )时，f()0，当 ( ，)时，f()0，注意到驻点的唯一性， 则 及 为函数 f()的最大值点，最大值为 ， 因为f()f() 0 (2 t)e-tdt1 及 f(
8、0)0，所以最小值为 0【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 g() af(t)dt bf(t)dt， 因为 f()在a ，b上连续，且 f()0， 所以 g(a) abf(t)dt0，g(b) abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得g()0，即 af()d bf()d【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 abf()d abf(abt
9、)(dt) abf(abt)dt abf(ab)d【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)令 I 0f(sin)d，则【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 F() 0f(t)dt，则 F()f() ，于是 00tf(u)dudt 0F(t)dt， 0f(t)(t)dt 0f(t)dt 0tf(t)dtF() 0tdF(t) F()tF(t) 0 0F(t)dt 0F(t)dt 命题得证【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由 f()关于 T 对称得 f(T) f(T)，于是【知识模块】 一元函数积分学25 【
10、正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 () 2f()，由积分中值定理得 f(1)2 2f()dc 2f(c)，其中 c0， ，即 (c)(1)，显然 ()在区间0， 1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()一 0而 ()2f() 2f()，所以 2f() 2f()0，注意到 0，故 2f()f()0【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 () af(t)dtbg(t)dt，显然 ()在a，b上可导，又 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0，而 ()f() bg(t)dtg() af(t)dt， 所以 f()
11、bg()dg() af()d0，即 f()bg()dg() af()d【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 F() 0f(t)sintdt，因为 F(0)F()0，所以存在 1(0，)，使得 F( 1) 0，即 f(1)sin10，又因为 sin10，所以 f(1)0 设 1 是 f()在(0，) 内唯一的零点，则当 (0，)且 1 时，有 sin( 1)f()恒正或恒负，于是0sin( 1)f()d0 而 0sin( 1)f()dcos 10f()sindsin 10f()cosd0，矛盾，所以 f()在(0 ，)内至少有两个零点不妨设 f(1)f( 2)0， 1， 2(0，)
12、且 1 2，由罗尔中值定理，存在 (1， 2) (0，)，使得f()0 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 由微分中值定理得 f()f(0)f( 1)，其中 0 1， f()f(2)f( 2)(2)，其中 22，于是 从而 02f()d 02f()d 01f()d 12f() d 012d 122(2)d 2【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 令 F() af(t)dt，则 F()在a ，b上三阶连续可导，取0 ，由泰勒公式得 F(a) F( 0)F( 0)(a 0) (a 0)3， 1(a， 0)， F(b)F( 0)F( 0)(b 0)(b 0)3， 2(0，b) 两式相减得 F(b)F(a)F( 0)(ba) F(1)F( 2)，即因为 f()在a， b上连续，所以存在 1， 2 (a，b)，使得 f() f( 1)f( 2)，从而【知识模块】 一元函数积分学
