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    [考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷24及答案与解析.doc

    • 资源ID:843094       资源大小:475.50KB        全文页数:13页
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    [考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷24及答案与解析.doc

    1、考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为 ( )二、填空题2 =_3 =_4 =_5 =_6 =_7 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 y=f(x)为区间0,1上的非负连续函数8 证明存在 c(0,1) ,使得在区间0,c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c,1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;9 设 f(x)在(0,1)内可导,且 f(x) ,证明(1)中的 c 是唯一的10 求圆 x2+y2=2y 内位于抛

    2、物线 y=x2 上方部分的面积11 求双纽线(x 2+y2)2=a2(x2-y2)所围成的面积12 抛物线 y2=2x 把圆 x2+y2=8 分成两个部分,求左右两个部分的面积之比13 设 C1,C 2 是任意两条过原点的曲线,曲线 C 介于 C1,C 2 之间,如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线,得两块阴影所示区域 A,B 有相等的面积,设 C 的方程是 y=x2,C 1 的方程是 y= ,求曲线 C2 的方程14 设曲线 y=a+x-x3,其中 a0当 x0 时,该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等,

    3、求 a15 曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形,求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积16 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 yx 围成,求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积17 求曲线 y=3-x 2-1与 z 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积18 求由曲线 y=4-x2 与 z 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积19 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线,使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 ,求切点坐标、切线方程,并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积20 求摆线 (a0) 的第一拱绕 x 轴旋转

    4、一周所得旋转体的体积21 设曲线 (0a4) 与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 z 轴旋转所得立体体积为 V1(a),绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a),问 a 为何值时,V 1(a)+V2(a)最大,并求最大值22 设一抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0,0)与(1 ,2),且 a0,确定 a,b,c,使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小22 设直线 y=kx 与曲线 y= 所围平面图形为 D1,它们与直线 x=1 围成平面图形为D223 求 k,使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小,并求最小值;24 求此时的 D1+D225 求摆线

    5、 (0t2)的长度26 设曲线 ,过原点作切线,求此曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的表面积27 一半径为 R 的球沉入水中,球面顶部正好与水面相切,球的密度为 1,求将球从水中取出所做的功考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0,x=1 ,x=2,当 0x1 时,y0;当 1x2 时,y0,所以围成的面积可表示为(C)的形式,选(C)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题2 【正确答案】

    6、【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【试题解析】 方法一【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 S 1(c)=cf(c),S 2(c)= ,即证明 S1(c)=S2(c),或 cf(f)+ ,(0)=(1)=0,根据罗尔定理,存在c(0,1),使得

    7、(c)=0,即 cf(c)+ f(t)dt=0,所以 S1(c)=S2(f),命题得证.【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 令 h(x)=xf(x)- ,因为 h(x)=2f(x)+xf(x)0,所以 h(x)在0,1上为单调函数,所以(1) 中的 c 是唯一的【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 由【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 根据对称性,所求面积为第一卦限面积的 4 倍,令则双纽线的极坐标形式为 r2=所求面积为A=4A1=a2【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 设左边的面积为 S1,右边的面积为 S2,【知识模块】 一元函数积分学13 【

    8、正确答案】 由题设 C:y=x 2,C 1:y= ,令 C2:x=f(y) ,P 点坐标为(x,y),【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 设曲线 y=a+x-x3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ,( ) ,由条件得因为 0,所以 4+2-3=0又因为(,0)为曲线 y=a+x-x3 与 x 轴的交点,所以有 +-3=0,从而有【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 取x,x+dx 1,2,dv=2x(x-1)(x-2)dx=-2nx(x-1)(x-2)dx,【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 取x,x+dx【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 取x,

    9、x+dx 0,1, dv 1=32-(x2-1)2dx=(8+2x2-x4)dx,dv2=32-(1-x2)2dx=(8+2x2-x4)dx,【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 方法一 取x,x+dx -2,2,则 dV=2(3-x)(4-x2)dx,【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 设切点坐标为(a,a 2)(a0),则切线方程为 y-a 2=2a(x-a),即y=2ax-a2,由题意得 ,解得 a=1 则切线方程为 y=2x-1,旋转体的体积为 V=【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y

    10、 轴的交点坐标分别为(a,0),(0,b),其中 b=4-a曲线可化为于是 V(a)=V1(a)+V2(a)= 令 V(a)= ,又 V(2)0,所以 a=2 时,两体积之和最大,且最大值为 V(2)=【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因为曲线过原点,所以 c=0,又曲线过点(1,2),所以a+b=2,b=2-a 因为 a0 ,所以 b0,抛物线与 z 轴的两个交点为 0, ,所以令 S(a)=0,得 a=-4,从而 b=6,所以当 a=-4,b=6,c=0 时,抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由方程组【

    11、知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因为 S(k)=【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 设切点为 ,则过原点的切线方程为 将由曲线 在区间1,2上的一段绕 z 轴一周所得旋转面的面积为切线 在区间0,2上一段绕 x 轴一周所得旋转曲面面积为所求旋转曲面的表面积为 S=S1+S2=【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点,x 轴铅直向下,取x,x+dx 0,2R,由于球的密度与水的密度相同,所以水面以下不做功, dw=(2R-x)R2-(R-x)21gdx=x(2R-x)2gdx,【知识模块】 一元函数积分学


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